Sequences Vs Series
 

มี series ตัวนึงค่อนข้างน่าสนใจครับ กำหนดให้ sequence $a_n = \cases{-1 & , n\not =m^{2020};\exists m \cr 2020n^{\frac{1}{2020}}-1 & \text{ถ้า $n$ เป็นกำลัง $2020$ สมบูรณ์}} $ เราจะได้ว่า $$\sum_{n\ge 1}\dfrac{a_n}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{1\le k\le n}\dfrac{1}{k}-\log n\right)=\gamma\approx 0.5772$$

มีเอกลักษณ์ นำเสนอ
เหล่าจอมยุทธ อย่าออเออ
เล่นดูเวอร์ ตามกันไป
โปรดร่วมกัน อภิปราย
ช่วยชี้แจ้ง แถลงไข
ไล่ตัวเลข สนิทใจ
ใครต่อใคร เห็นตรงกัน
เอกลักษณ์ มีชื่อเรียก
Fractorial เศษส่วนย่อย
เรียงตัวเลข บวกกันไป
น่าตกใจ ใครนิยาม

$\frac{1}{1!}=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}...$

$\frac{1}{2!}=\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+...$

$\frac{1}{3!}=\frac{3}{4!}+\frac{4}{5!}+\frac{5}{6!}+\frac{6}{7!}...$
...
...
$\frac{1}{n!}=\frac{n}{(n+1)!}+\frac{(n+1)}{(n+2)!}+\frac{(n+2)}{(n+3)!}+\frac{(n+3)}{(n+4)!}+...$

หรือ

$$\frac{1}{k!}=\sum_{n = k}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$$

ใช้ induction ครับ โดยเราได้ว่า $\dfrac{1}{k!}-\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{(k+1)!}$
ดังนั้นเเล้ว $$\dfrac{1}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{k}{(k+1)!}=\left(\sum_{k\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}\right)-\dfrac{k}{(k+1)!}=\sum_{k+1\le n}\dfrac{n}{(n+1)!}$$

...step up...ลองร่างการพิสูจน์
$$e-1=\frac{1^2}{2!}+\frac{2^2}{3!}+\frac{3^2}{4!}+\frac{4^2}{5!}+\frac{5^2}{6!}+...$$

ไม่แน่ใจเรื่องเลขนะครับ แต่น่าจะเป็นประมาณนี้ ฝั่งขวาคือ $$\sum_{n\ge 1} \dfrac{(n-1)^2}{n!}=\sum \dfrac{n}{(n-1)!}-2\sum \dfrac{1}{(n-1)!}+\sum \dfrac{1}{n!}=2e-2e+(e-1)=e-1$$
เพราะว่า$$ \sum \dfrac{n}{(n-1)!}x^{n-1}=xe^x+e^x$$

ถ้ามองแยก แตกต่าง
ไม่หลากหลาย จะกลับกลาย
คับแคบ ไม่ประสงค์
ถ้าเคล้ากัน แบ่งปัน
นั้นมั่นคง อย่าทะนง
ไม่ตรง ไปตรงมา

ผลรวม...เลขคณิต-เรขาคณิต...

ผลรวมของความสัมพันธ์ผสมที่อยู่ในรูป...

$$(a_1)[a_1']+(a_1+d)[a_1'r]+(a_1+2d)[a_1'r^2]+...+(a_1+(n-1)d)[a_1'r^{(n-1)}]...โดยที่...|r|<1$$

ผลรวมจะลู่เข้าสู่...$a_1(\frac{a_1'}{1-r})+d(\frac{a_1'r}{(1-r)^2})$


...อีกซักข้อ

$$(\frac{1}{1^2})(\frac{1}{1^2})+(\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})+(\frac{1}{3^2})( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2})+(\frac{1}{4^2})( 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2})+...
=\frac{7}{360}\pi ^4$$
เครดิต:ออยเลอร์

*(L.Euler)*

$$\dfrac{1}{1^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{2^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\cdot\le ft(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\df rac{1}{4^2} \right)+\dots
=\dfrac{7\pi ^4}{360}$$

ให้ $\mathscr M$ คือก้อนทางซ้าย เนื่องจาก $\displaystyle \zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}, \zeta(4)=\dfrac{\pi^4}{90}$
$\displaystyle\mathscr M =\zeta(2)^2-\left(\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}\right)+\dfrac{1}{3^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)+\dfrac{1}{4^2}\left(\df rac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)+\dfrac{1}{5^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2} \right)+\dots\right)$
$\displaystyle =\zeta(2)^2-\left(1-\dfrac{1}{1^4}+\dfrac{1}{2^2}\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}\right)-\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{1}{3^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}\right)-\dfrac{1}{3^4}+\dfrac{1}{4^2}\cdot\left(\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}\right)-\dfrac{1}{4^4}+\dots\right)$
$=\zeta(2)^2-\left(\mathscr M-\zeta(4)\right)$

$\therefore \mathscr M=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi^4}{36}+\dfrac{\pi^4}{90}\right)=\dfrac{7\pi^4}{360}$ ตามต้องการ