มีรากตรรกยะอย่างมาก1ตัว
c เป็นจำนวนตรรกยะ จงพิสูจน์ว่า
$x^3-3cx^2-3xc+c=0$ มีรากตรรกยะได้อย่างมาก1ค่า ช่วยทีครับ |
อ้างอิง:
But let's ignore that, since the asker may not count multiplicities of roots. So, we assume $c\neq 0$. The discriminant (with respect to $x$) of the cubic polynomial $x^3-3cx^2-3cx+c$ is $27c^2(7c^2+10c-1)$. If this polynomial has at least two rational roots, then all roots are ratioals. Thus, $27c^2(7c^2+10c-1)$ must be a perfect square of a rational numbers. Hence, $$t:=\frac{27c^2(7c^2+10c-1)}{(3c)^2}=3(7c^2+10c-1)$$ is a perfect square of a rational number. Let $v_p$ denote the $p$-adic valuation for each prime natural number $p$. Now, if $v_3(c)>0$, then $v_3(t)=1$ is odd. If $v_3(c)=0$, then $v_3(t)=1$ as well. On the other hand, if $v_3(c)<0$, then $v_3(t)=1+2v_3(c)$ is also an odd integer. Thus, $t$ cannot be a perfect square. |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:35 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha