เพชรยอด 2551 ม.ต้น บนเวที
 

ช่วยกันรวบรวมปัญหา และวิธีคิดข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ ม.ต้น ปี 2551 รอบสอง บนเวทีหน่อยครับ จำได้มาไม่หมดอ่ะครับ ขอเริ่มกันที่ข้อนี้เลยนะครับ

7. ให้ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
ถ้า $$ A = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{90000}}$$ แล้ว [A] มีค่าเท่าไร

8. จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมด ที่ทำให้ p+28 และ p+56 เป็นจำนวนเฉพาะ

9. ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มบวก ที่มีสมบัติว่า a+ 41b หารด้วย 43 ลงตัว และ b+43a หารด้วย 41 ลงตัว จงหาค่าต่ำสุดของ a+b

10. ในการเขียนจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1,2,3,...,10000 จะต้องใช้เลข 0 ทั้งหมดกี่ตัว

จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ p + 28 และ p + 56 เป็นจำนวนเฉพาะ


คำตอบ p = 3


วิธีทำ เนื่องจาก p เป็นจำนวนเฉพาะและเศษที่เกิดจากการหาร 28 ด้วย 3 คือ 1
และเศษที่เกิดจากการหาร 56 ด้วย 3 คือ 2
ถ้าเศษที่เกิดจากการหาร p ด้วย 3 คือ 2 หรือ 1 จะได้ว่า
p + 28 หรือ p + 56 จะต้องหารด้วย 3 ลงตัว
ดังนั้น 3 จะต้องหาร p ลงตัว นั่นคือ p = 3
จากการตรวจสอบพบว่า p = 3 จะได้ p + 28 = 31 และ p + 56 = 59
ต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ :p :cool:

อ่าา ครับ ขอบคุณครับ คนรักคณิm

7. ใช้คู่สังยุกต์
9. ใช้พาราโบลา
10. เทียบแล้วจับจุด


เด๋วพรุ่งนี้จะกลับมาคิดช่วยนะครับ

ปล.เราไม่ควรนอนดึกนะครับ ...

อยากขอคำชี้แนะจากท่านเทพทั้งหลายหน่อยครับ
คิดยังไงกันม้างอ่าT-T

ข้อ.7 ให้ลองจัดรูปเป็น $ \dfrac {A+1}{2}$ = $\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2\sqrt{90000}}$ ซึ่งจะคล้ายกับโจทย์ของสพฐ.2551 ข้อ.30 มาก (จึงใช้วิธีเดียวกันได้)

ผมขอยืมวิธีของคุณ dektep และลอกอสมการของคุณ nooonuii ทั้งดุ้นมาใช้เลยนะครับ (ขี้เกียจพิมพ์)

เนื่องจาก $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ < $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ < $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

แทนค่า $n = 2,...,90000$ ในอสมการข้างบน

$\sqrt{3}-\sqrt{2}<\dfrac{1}{2\sqrt{2}}<\sqrt{2}-\sqrt{1}$

$\sqrt{4}-\sqrt{3}<\dfrac{1}{2\sqrt{3}}<\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\sqrt{5}-\sqrt{4}<\dfrac{1}{2\sqrt{4}}<\sqrt{4}-\sqrt{3}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vdots$

$\sqrt{90000}-\sqrt{89999}<\dfrac{1}{2\sqrt{89999}}<\sqrt{89999}-\sqrt{89998}$

$\sqrt{90001}-\sqrt{90000}<\dfrac{1}{2\sqrt{90000}}<\sqrt{90000}-\sqrt{89999}$

บวกทุกอสมการเข้าด้วยกันได้

$\sqrt{90001}-\sqrt{2}$ < $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2\sqrt{90000}}$ < $\sqrt{90000}-\sqrt{1}$ แทน A ลงในอสมการจะได้ $\sqrt{90001}-\sqrt{2}$ < $\dfrac{A}{2}$ < $299$

จัดรูปอสมการใหม่ได้ $2(\sqrt{90001}-\sqrt{2})$ < A < $598$

เนื่องจาก $\sqrt{90001}$ มีค่าประมาณ 300.002 (หาจาก 90001 = $(300+c)^2$ = $300^2 + 2(300)(c)+c^2$ แต่ $c^2$ ~ 0 ดังนั้นจะได้ว่า 600c = 1 --> c ~ 0.0017 )

จะได้ว่า $2(\sqrt{90001}-\sqrt{2})$ ~ 2(300.002-1.414) ~ 597.2 -- > ดังนั้น $597.2$ < A < $598$ จึงตอบได้ว่า [A] = 597 ครับ :) :)

ข้อ 9



ผมคิดได้ 246 อ่ะครับแต่ไม่แน่ใจเรยอ่า
ผมได้ a= 164 b=82อ่า

เอาไหม่ๆครับ
คราวนี้คิดว่าได้จริงๆแล้ว

คือตอนแรกพิจรณา ว่า 43 หาร (a+41b)ลงตัว ผมเลยให้ x เป็นผลลัพท์จากการหาร (a+41b) ด้วย 43 นะครับ
ทำแบบเดียวกันกับอีกสมการจะได้ว่า
43X=(a+41b)---------(1)
41Y=(b+43a)---------(2)
จากตรงนี้ถ้าเราลองแทนค่าb ในสมการแรกดู เราจะเห็นว่า b=2a ตอนนี้เราได้สมการ b=2a มาเป็นพวกแล้ว ดูจากสมการที่2 เราจะเห็นว่า a และ b ต่างก็มา 41 เป็นตัวประกอบ เราก็ลองแทนค่า b= 41 ดู แล้วจะได้ว่า a= 82
ลองแทนค่าดูใน (2) จะได้
41Y= 41+(43x82)
41Y= 41+(86x41)
41Y= 41(87)
Y=87
จะเห็นใด้ว่า 41 หาร ลงตัว
คราวนี้ลองแทน ใน (1) ดู
43X= 82+(41x41)
43X= (41x2)+(41x41)
43X= 41(43)
X=41
จะเห็นใด้เหมือนกันว่า 43 ก็หารลงตัว
และเนื่องจากว่า ค่าผลลัพท์ที่เกิดจากการหาร (XและY) เป็นจำนวนเฉพาะ
ดังนั้น a= 82 b= 41 เป็นจำนวนที่ต่ำที่สุดแล้ว
ดังนั้น a+b= 123
---------------------------------------จบ-----------------------------------------------

ข้อ10นะครับ
ผมไม่ชัวแต่ว่าผมคิดได้ 2891 ตัวอ่ะครับ

วิธีคิดก้อ ตอนแรกนับแค่เลข 0 ที่หลักหน่วยก่อนจะได้ว่าใน 100 มีอยู่10ตัว ใน10,000 ก้อตั้งตองมี 1000 ตัว ต่อมาดูที่เลข0ในหลักสิบนะครับ คราวนี้จะได้ว่าใน 100 ตัวก้อจะมีอยู่ 10 ตัวเหมือนกัน แบบนี้อ่ะครับ X,X00-X,X09 จะมี10 ตัว แต่คราวนี้ไม่นับ 99 จำนวนแรกเพราะมีแค่ 2 หลัก ดังนั้นเลข 0 10 ตัวแรกจะไม่มีครับเราก้อจะได้ว่า ในหลักสิบมี 0 อยู่ 1000-10= 990 ตัว ต่อมาก้อหลักร้อย อันนี้ในตัวเลข 1000 ตัวจะมี เลข0ในหลักร้อยอยู่ 100ตัวครับ แบบนี้ X,000-X,099 แต่คราวนี้ไม่นับ999 จำนวนแรก ดังนั้น เลข0 100 ตัวแรกจะไม่มีนะครับ เพราะมีแค่ สามหลัก กังนั้นเลข0 ในหลักร้อยจึงมี (100X10)-100= 900ครับ แล้วก้อ ท้ายสุด คือเลข 0 ในหลักพัน ที่มี แค่ 1 ตัว คือมีอยู่ในตัวเลข 10,000
สรุปเราเอามันมารวมกันจะได้ 1000+900+990+1=2891
---------------------------------------จบ-----------------------------------------------

ครับผม 143ก้อน่าจะได้นะครับ 143+28=171 แล้วก้อ 143+56= 199 ครับ แต่ผมไม่ชัวว่าจะใช่จำนวนเฉพาะอะปร่าว
:happy::);)

เลข 171 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะครับ
แนะนำวิธีตรวจสอบ ถ้าเรานำเลขโดดมาบวกกันแล้วหารด้วย 3 ลงตัว แล้วเลขนั้นจะหารด้วย 3 ลงตัว ครับผม
เช่น 1,645,689,321 --> 1+6+4+5+6+8+9+3+2+1 = 45 ดังนั้นเลขนี้หารด้วย 3 และ 9 ลงตัวครับ (ลองหารดูได้นะครับ)

จริงด้วยเนอะครับ เหอะๆ ขอโทดที
:cry::)

ข้อนี้ผมนับเลข 0 ได้ทั้งหมด 2,893 ครับ และมีวิธีนับดังนี้
1) เลข 10,000 มีเลข 0 ทั้งหมด 4 ตัว
2) เลข 1~ 9,999 มีเลข 0 ทั้งหมด 2,889 ตัว โดยแยกเป็นกรณีต่างๆดังนี้
-2.1) เลข 0 ในหลักหน่วย มีรูปแบบ x,xx0 โดยที่ xxx คือ 1~999 รวม 999 ชุด (มีเลข 0 ทั้งหมด 999 ตัว)
-2.2) เลข 0 ในหลักสิบ มีรูปแบบ x,x0y โดยที่ xx คือ 1~99 (99) และ y คือ 0~9 (10) รวม 990 ชุด (มีเลข 0 ทั้งหมด 990 ตัว)
-2.3) เลข 0 ในหลักร้อย มีรูปแบบ x,0yy โดยที่ x คือ 1~9 (9) และ yy คือ 00~99 (100) รวม 900 ชุด (มีเลข 0 ทั้งหมด 900 ตัว)

รวมทั้งสี่กรณีจะมีเลข 0 ทั้งหมด 4+999+990+900 = 2,893 ตัว :D

หมายเหตุ : ที่แยก 9,999 ออกมาเพื่อให้คิดได้ง่ายขึ้น(นับได้ง่ายขึ้น)

จริงด้วยๆๆๆๆๆๆๆๆ
เหอะๆๆๆ
หน้าแตกเรยเรา
55555+++++
แล้วข้อ 9 หล่ะครับ ช่วยตรวจให้หน่อยนะคร้าบบบ

ผมคิด a+b= 123 ได้เท่ากันครับ :great: :great: