Diophantine Equation
 

1.ถ้า $x,y \in \mathbb{N}$ จงหาคำตอบของสมการ
$x^3-y^3=xy+61$

x=-5, y=-6 ครับ

ขอโทษครับ $x,y \in \mathbb{N}$ ครับ:wacko:

งั้นเมื่อ x และ y เป้นจำนวนนับ จะได้ว่า x=6, y=5 ครับ

ถูกต้องครับ :great: คำตอบคือ (6,5) คำตอบเดียวครับ
แต่ว่าแล้ววิธีทำ ???

ผมไม่แน่ใจในวิธีทำนะครับ ถ้าใครรู้ก็ช่วยชี้แนะด้วยครับ เพราะบางช่วงก็ใช้การสังเกตแล้วแทนค่าดูครับ
จากโจทย์ $x,y \in \mathbb{N} $
เราจะได้ $x^3 \equiv x \pmod{3} $ และ $y^3 \equiv y \pmod{3}$
$x^3-y^3 \equiv x-y \pmod{3}$
$x^3-y^3-xy \equiv x-y-xy \pmod{3}$
$61 \equiv x-y-xy \equiv 1 \pmod{3}$

กรณีที่ 1 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k $
จะได้ $1 \equiv -y \pmod{3}$
ั$y \equiv 2 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q+2$

กรณีที่ 2 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+1$
จะได้ $y+1\equiv 1-y \pmod{3}$
$y\equiv 0 \pmod{3}$
เพราะฉะนั้น $y$ สามารถเขียนได้ในรูป $3q$

กรณที่ 3 $x$ สามารถเขียนได้ในรูป $3k+2$
จะได้ $2y+1\equiv 2-y \pmod{3}$
$3y\equiv 1 \pmod{3}$
ซึ่งเป็นไปไม่ได้
เพราะฉะนั้น ถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q+2$ หรือถ้า $x$ เขียนอยู่ในรูป $3k+1$ จะได้ว่า $y$ เขียนอยู่ในรูป $3q$
ต่อจากนั้นผมเลยลองแทนค่าดูก็จะได้ว่า $(x,y) = (6,5) = (-5,-6)$

แล้วตอนจบรู้ได้อย่างไรว่ามีคำตอบเดียวครับ :D

นั่นแหละครับคือสิ่งที่ผมสงสัยอยู่ และอยากจะทราบอยู่รบกวนคุณ dektep ช่วยเฉลยด้วยครับ ขอบวิธีตั้งแต่ต้นเลยนะครับ

2.ถ้า $x,y,z \in \mathbb{N}$ จงหาคำตอบของสมการ
$$(x+y)^2+3x+y+1=z^2$$

คำตอบข้อนี้น่าจะมีหลายคำตอบ คือ
$x=y, z=2x+1$, $ \forall x\in \mathbb{N} $

คำตอบถูกต้องแล้วครับ :great:
แล้ววิธีทำละครับ :D

ผมก็ใช้การสังเกต โดยให้ $x=y$ จะเห็นว่าฝั่งซ้ายสามารถจัดอยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณืได้ แล้วก็แก้สมการ ก็จะได้คำตอบตามต้องการครับ แล้วคุณ dektep มีแนวคิดแบบอื่นหรือเปล่าครับ

แนวคิดก็คือจะพยายาม bound ค่า $(x+y)^2+3x+y+1$ ด้วยอสมการ
$(x+y)^2 < (x+y)^2+3x+y+1 < (x+y+2)^2$
$\therefore (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$
$\therefore x=y$
แทนค่าต่อไปก็จะได้คำตอบครับ

แหม ตอบกันได้อย่างดุเดือดจังเลย แต่กระทู้ผมกลับเงียบสนิท เเฮะ ช่วยไปตอบหน่อยครับคำถามเกี่ยวกับ EIGEN