Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=21)
-   -   ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17037)

จูกัดเหลียง 16 สิงหาคม 2012 22:01

ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ
 
1.กำหนด $m\le n$ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$ โดย $gcd(m,n)=1$ เเละ $mn=25!$
เเล้ว $(m,n)$ มีกี่คู่อันดับ
2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง $8$ คือ $f$ เเละ $f(m)=\dfrac{1}{m}$ ทุกๆ $m=1,2,..,9$
จงหา $f(10)$

MiNd169 16 สิงหาคม 2012 22:25

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 144871)
1.กำหนด $m\le n$ เมื่อ $m,n\in\mathbb{N}$ โดย $gcd(m,n)=1$ เเละ $mn=25!$
เเล้ว $(m,n)$ มีกี่คู่อันดับ
2.กำหนดฟังก์ชันพหุนามกำลัง $8$ คือ $f$ เเละ $f(m)=\dfrac{1}{m}$ ทุกๆ $m=1,2,..,9$
จงหา $f(10)$

$25!$ เขียนในรูปแยกเป็นตัวเฉพาะเดี่ยวๆได้ $9$ ตัว $= 2^a3^b5^c7^d11^e13^f17^g19^h23^i$
จากนั้นแยกเป็น $m$ และ $n$ โดยต้องนำจำนวนเฉพาะนั้นๆไปด้วยกันทั้งหมด จะแยกได้ $2^9$ (กลุ่มจำนวนที่มากกว่า จะเป็น $n$ โดยอัตโนมัติ) :)
--------
edit : จากที่คิดแบบ $2^9$ มันคือการคิดโดยระบุตำแหน่ง เพื่อไม่ให้เจาะจง ต้องหารด้วย 2! น่าจะตอบ $2^8$

-InnoXenT- 17 สิงหาคม 2012 17:07

ข้อสอง ผมคิด Closed Form ได้เท่านี้อะครับ

$\displaystyle{f(x) = \sum_{n=1}^{9}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)}{n!(9-n)!(x-n)}}$

แทนค่า $x=10$ ก็จะได้

$f(10) = 2-9+24-42+25.2 = 0.2$ :sweat:

จูกัดเหลียง 17 สิงหาคม 2012 18:01

#2 ทำไมเป็น $2^9$ อ่ะครับ ปล.สอบป่าวพี่มายด์ ^^
#4 ทำยังไงเหรอครับ ดูยากจัง =[]="

jabza 17 สิงหาคม 2012 18:35

2.$จากf(m)=\frac{1}{m} \Rightarrow mf(m) - 1 = 0$
$สมมติให้Q(x)=xf(x) - 1 = 0$
$โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต จะได้ว่า Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 9 (เพราะ f กำัลัง 8)$
$โดยที่ Q(x)=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$ดังนั้นxf(x) - 1=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$สมมติให้f(x) =a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0$
$ดังนั้นx(a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0) - 1 = C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$เทียบสัมประสิทธิ์ของค่าคงตัว : -1 = -9!C $
$จะได้ c =\frac{1}{9!} $
$ จะได้ f(x) = \frac{\frac{1}{9!}(x-1)(x-2)....(x-9)}{x} + \frac{1}{x} $
$แทนค่า f(10) = 0.2 $ ครับ

Pain 7th 17 สิงหาคม 2012 18:48

1. $gcd(m,n)=1$ จะได้ $gcd(25!,n^2)=n$

ถ้าเขียน 25! ในรูปเลขยกกำลังพบว่า 13,17,19,23 มีกำลังหนึ่งแสดง่วาสร้างได้ $2^4$

จากนั้นพิจารณาเลขยกกำลังที่มากกว่า 1 n จะต้องมีกำลังของจำนวนเฉพาะ ใดๆ สูงเท่ากับ 25! มี เช่น $25!=2^a k$ n ก็ต้องมี $2^a$ ด้วย

เพราะถ้า n มีกำลังน้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าเท่ากับ $\dfrac{a}{2}$ แต่ไม่เท่ากับ a ก็จะขัดกับ หรม ดัง n ควรมีกำลัง 0 หรือ a เท่านั้นเป็นต้น

เพราะฉะนั้นจะมีคู่อันดับทั้งหมด $2^9$

จูกัดเหลียง 17 สิงหาคม 2012 21:03

อ้อครับ ขอบคุณทุกท่านมากๆครับ
มีมาเพิ่มอีก
3.หาส.ป.ส.ของ $x^{20}$ ใน $(x^3+x^4+x^5+...)^3$
4.หาค่าของ $\tan 53^\circ+\tan 37^\circ-(\tan 53^\circ-\tan 37^\circ)\tan 8^\circ$
5.ให้ $21A=\pi$ จงหาค่า $\cos 2A+\cos 4A+\cos 6A+...$
6.ถ้า $\dfrac{\sin x+\sin y+\sin z}{\sin(x+y+z)}=\dfrac{\cos x+\cos y+\cos z}{\cos(x+y+z)}=2\sqrt 2$ เเละ $\cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=a+b\sqrt 2$ จงหา $a+b$
7.ให้ $$-\frac{3}{1!}+\frac{7}{2!}-\frac{13}{3!}+\frac{27}{4!}-...+\frac{2548^2+2548+1}{2548!}=a+\frac{b}{c!}$$
เมื่อ $a,b,c\in Z$หาค่าน้อยสุดของ $a+b+c$
8.$a=16/26,b=125/64$ จงหา $a^{\log_b 3}$

ปล.โหดกันทุกคนเลยครับ อาจจะง่ายเกินไปสำหรับทุกท่าน
ปล.2ข้อท้ายสุดเราหาออกมาได้เเบบไม่ติด $\log 3 $ หรือครับ = =

MiNd169 17 สิงหาคม 2012 21:18

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 144900)
#2 ทำไมเป็น $2^9$ อ่ะครับ ปล.สอบป่าวพี่มายด์ ^^

ก็เหมือนเลือกพิจารณาไปทีละตัว รายตัวเลย โดยเหมือนให้จำนวนพวกนั้นเลือกลงได้ $2$ ข้าง (ข้างไหนมากกว่า่ให้เป็น $n$ ซะ)
เช่น
$2^a$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
$3^b$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
$5^c$ เลือกลงได้สองข้าง จึงได้ $2$วิธี
.
.
.
จึงรวมกันได้ $2^9$
แต่เวลาเลือกแบบนี้ มันมีการ fix ของตำแหน่งที่มันลง มันเลยต้องหาร $2!$ ออก เหลือ $2^8$

...น่าจะไปแหล่ะ ไปป่าว? :happy:...

Thgx0312555 17 สิงหาคม 2012 21:32

3. star&bars , $a+b+c=20,a,b,c \ge 3$

7. $\displaystyle\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2+i+1}{i!}) = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i^2}{i!}+\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!}+\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})+\sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i+1}{i!})$
$\displaystyle = \sum_{i=1}^{2548}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})-\sum_{i=2}^{2549}(-1)^{i}(\dfrac{i}{(i-1)!})$
$= 1-\dfrac{2549}{2548!}$

สามารถจัดรูปให้ค่า b เป็นลบมากๆได้ดังนั้น a+b+c ไม่จะมีค่าน้อยที่สุดนะครับ

Pain 7th 17 สิงหาคม 2012 21:59

5. $\displaystyle \sum_{i=1}^n \cos \dfrac{2i}{2n+1} \pi = -\dfrac{1}{2}$

6. $\sin x\sin y+\sin y\sin z+\sin z\sin x=p , \cos x\cos y+\cos y\cos z+\cos z\cos x=q , p+q=\dfrac{5}{2} , q-p=2\sqrt{2}$

7. $\dfrac{n^2+n+1}{n!} = \dfrac{n}{(n-1)!}+\dfrac{n+1}{n!}$

จูกัดเหลียง 18 สิงหาคม 2012 07:20

#9 ขอบคุณครับ เข้าใจละๆ ผมก็ไปเหมือนกัน :)
#10 เข้าใจเเล้วครับ ขอบคุณมาก
ปล.งั้นข้อเเรกนี่ได้ $\dfrac{14!}{3!11!}$ หรือป่าวครับ
#11 ข้อ 5.พิสูจน์ได้ยังไงครับ :sweat:
ข้อ 6. ผมไม่เข้าใจว่าทำไม $q-p=2\sqrt 2$ กับ $p+q=5/2$ คือ $q-p$ นี่เกิดจากการกระจายเหรอครับ เเล้ว $5/2$ มาจากไหนอ่ะครับ

Pain 7th 18 สิงหาคม 2012 07:41

ข้อ 6 ลองยกกำลังสองจากสมการโจทย์แล้วใช้ $\sin^x + \cos^2 x = 1 $ การหา q-p สังเกตจาก $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

ข้อ 5 ให้ $w= \ cis \dfrac{2\pi}{2n+1}$ ครับ เราจะได้ว่า $\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} w^i = -1$

จูกัดเหลียง 18 สิงหาคม 2012 08:31

ข้อ6 ขอเเบบเต็มเลยได้ไหมครับ ยังงเหมือนเดิม 555+
ปล.คุณ Pain ไปป่าวครับ

Pain 7th 18 สิงหาคม 2012 16:19

ยังงี้ครับ

$\sin x +\sin y+\sin z= 2\sqrt{2}\sin (x+y+z)$

$\cos x +\cos y+\cos z=2\sqrt{2} \cos (x+y+z)$

จับยกกำลังสองทั้งสองสมการแล้วนำมาบวกกัน จะได้

$3+2p+2q= 8 $

เพราะฉะนั้น $p+q = \dfrac{5}{2}$

จากนั้นดู

$q-p= \cos x\cos y -\sin x\sin y+\cos y\cos z -\sin y\sin z+\cos z\cos x -\sin z\sin x$

$\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z-z)+\cos (x+y+z-y)+\cos (x+y+z-z)$

$\ \ \ \ \ \ \ =\cos (x+y+z) (\cos x+\cos y+\cos z)+\sin (x+y+z) (\sin x+\sin y+\sin z)$

$\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2} \cos^2 (x+y+z)+2\sqrt{2} \sin^2 (x+y+z)$

$\ \ \ \ \ \ \ = 2\sqrt{2}$

หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์ 20 สิงหาคม 2012 19:04

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza (ข้อความที่ 144902)
2.$จากf(m)=\frac{1}{m} \Rightarrow mf(m) - 1 = 0$
$สมมติให้Q(x)=xf(x) - 1 = 0$
$โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต จะได้ว่า Q(x) เป็นพหุนามกำลัง 9 (เพราะ f กำัลัง 8)$
$โดยที่ Q(x)=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$ดังนั้นxf(x) - 1=C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$สมมติให้f(x) =a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0$
$ดังนั้นx(a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0) - 1 = C(x-1)(x-2)....(x-9)$
$เทียบสัมประสิทธิ์ของค่าคงตัว : -1 = -9!C $
$จะได้ c =\frac{1}{9!} $
$ จะได้ f(x) = \frac{\frac{1}{9!}(x-1)(x-2)....(x-9)}{x} + \frac{1}{x} $
$แทนค่า f(10) = 0.2 $ ครับ

ขอโทดนะครับ ผม อยากทราบว่า ทำไมสมมุติให้ $f(x)=a_9x^9+a_8x^8 +......+a_1x+a_0$ มันเป็นกำลัง 8 ไม่ใช่เหรอครับ ขอคำแนนำด้วย:please:


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:18

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha