ช่วยทีครับ
 

Given $4$ points in plane. If the areas of four triangles formed are different positive integer. and $6$ distances between those $4$ points are also $6$ different positive integers, then the convex closure of $4$ points is called a "lotus design"
$(1)$ Construct an example of "lotus design". Also what are areas and distances in your example $?$
$(2)$ Prove that there are infinitely many "lotus design" which are not similar.

มีความเป็นไปได้ครับสำหรับสี่เหลี่ยมนูนที่เรียกว่า"lotus design"
วิธีหนึ่งที่เห็นได้ตอนนี้คือใช้สามเหลี่ยมปิทากอรัสมาช่วยหา
และถ้าได้ก็น่าจะมีผลเฉลยเป็นอนันต์รรูปสี่เหลี่ยมนูนที่ไม่คล้ายกัน
ไม่ทราบว่าเป็นข้อสอบจากสนามไหนครับ และถ้าคิดได้จะมาลงเฉลยไว้ให้ครับ

หนึ่งตัวอย่างที่หาได้คือ....สี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่เป็น 35,120,75,100 (เรียงตามเข็มนาฬิกา)
และเส้นทแยงมุมทั้งสองเส้นเป็น 117,125
จะได้พื้นที่สามเหลี่ยมทั้งสี่รูปเป็น 1638,2100,3750,4212
แล้วจะลองหาสูตรทั่วไปมาให้นะครับ.....:dry:

สูตรทั่วไปของสามเหลี่ยมพีทากอรัสจำนวนหลายๆนับไม่ถ้วนรูปคือ....
เมื่อ $a<b<c$ , ห.ร.ม.ของ$(a,b,c)=1$
สูตรที่1.....$a=2n....,...b=n^2-1.......,c=n^2+1$ เมื่อ $n$เป็นจำนวนคู่ทีมากกว่าหรือเท่ากับ4
สูตรที่2.....$a=2n+1....,...b=2n^2+2n.......,c=2n^2+2n+1$ เมื่อ $n$เป็นจำนวนคี่ทีมากกว่าหรือเท่ากับ1
สูตรที่3.....$a=kq....,...b=\frac{q^2-k^2}{2}.......,c=\frac{q^2+k^2}{2}$
เมื่อ $k,q$เป็นจำนวนคี่ทีห.ร.ม.ของ$(k,q)=1$และ$kเป็นจำนวนคี่ที่น้อยกว่า(\sqrt{2}-1)q$

เมื่อ nเป็นจำนวนเต็มบวกและ a,bคือด้านประกอบมุมฉาก....cคือด้านที่เหลือ

ลองเลือกมา2รูปที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากันประกบกันให้ได้สี่เหลี่ยมนูนที่บรรจุอยู่ในวงกลม แน่นอนว่า
วงกลมที่ได้เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นจำนวนเต็ม เส้นทแยงมุม2เส้นเส้นหนึ่งคือเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลมนั้น ส่วนอีกหนึ่งเส้นจะถูกบังคับให้เป็นจำนวนตรรกยะภายใต้วงกลมนั้น....
และต่อไปพื้นที่ของสามเหลี่ยมทั้ง4รูปจะเป็นจำนวนตรรกยะด้วยสูตร $พื้นที่\triangle =\frac{abc}{4R}$ ...
หรือกำลังสร้างสี่เหลี่ยมที่มีด้าน4ด้าน,เส้นทแยงมุมอีก2เส้นและพื้นที่อีก4สามเหลี่ยมอยู่ในเซตของจำนวนตรรกยะนั่นเอง.....
แล้วใช้ทฤษฎีความคล้ายของรูปสี่เหลี่ยมทำให้เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด....