ระบบจำนวนจริง
 

กำหนดให้$$A=\left\{\,\right. (m,n)/m^3+n^3+99mn=33^3\,และ\,mn\geqslant 0\,โดยที่\,m,n\in \mathbf{I}\left.\,\right\} $$
จงหาจำนวนสมาชิกของ $A$

$m^3+n^3+99mn=33^3$ และ$mn\geqslant 0$

$m^3+n^3-33^3=-99mn$
$m^3+n^3+(-33)^3=3(-33)mn$
จาก $a^3+b^3+c^3 = 3abc + (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$3(-33)mn=3(m)(n)(-33)+(m+n-33)(m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n)$
$(m+n-33)(m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n)=0$
จะได้ว่า $m+n=33$ หรือ $m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n=0$
$(m+n+33)^2=m^2+n^2+33^2+2(mn+33m+33n)$
$m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n=(m+n+33)^2-3mn-33m-33n=0$
$(m+n+33)^2-3mn-33m-33n=0$
$(m+n+33)^2=3(mn-11m-11n)$
$(m-11)(n-11)=mn-11m-11n+121$
$(m+n+33)^2=3((m-11)(n-11)-121)$

เหลือแต่แก้สมการ $m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n=0$ คงต้องแก้ในกระดาษแล้วไม่ออกจริงๆ

สวัสดีค่ะ ช่วงนี้ดิฉันยุ่งมาก มีปาร์ตี้น้ำชาทุกวัน ทั้งวันทั้งคืน เลยเจียดเวลาออกมาแทบจะไม่ได้เลยค่ะ

$m^2+n^2+33^2-mn+33m+33n$ นั้นสามารถจัดรูปได้เป็น
$\frac{(m-n)^2+(m+33)^2+(n+33)^2}{2}$ ค่ะ

ต้องขอตัวจริงๆค่ะ ขนมชุดใหม่มาเสริฟอีกแล้วค่ะ ต้องรีบไปทาน
สวัสดีค่ะ

ขอบคุณครับScylla_Shadow....ขอถามหน่อยว่า สมัยแรกๆที่ผมเข้ามาในMathcenter เวลาตอบโพสน้องScylla_Shadow จะตอบว่าครับ
ช่วงหลังๆนี้เปลี่ยนเป็นค่ะ....ผมแปลกใจหน่อยหนึ่งครับ

$(m,n)=(-33,-33)$ ก็ได้นะ
แนะนำว่าถ้าอยากแทนค่าควรแทนให้ครบทุกจำนวนนะครับ

แนะนำเอกลักษณ์พีชคณิตสักหน่อย
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)(\frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2})$

#5

คำตอบ 35 ถูกแล้วครับ


หมายเหตุ ส่วนมากมักจะพลาดคู่ที่35

นั่นคนเก่า นี่คนใหม่ค่ะ