ใช้พหุนาม พิสูจน์ สมบัติของอนุพันธ์
 

บทนิยาม ให้ P(x) = $AnX^n + ... + A1X + A0$ เป็นพหุนามกำลัง $n\geqslant$ 1 เหนือ F

และ เรียก พหุนาม P(x) = $nAnX^(n-1) +(n-1)An-1X^(n-2) + ... + A1$ ว่า อนุพันธ์ ของ P(x)

จงพิสูจน์ สมบัติของอนุพันธ์ โดยใช้ บทนิยามของพหุนามนี้

1. ให้ P(x) และ Q(x) เป็นพหุนาม และ k เป็นจำนวนคงค่า

1.1 จงพิสูจน์ว่า (P+Q)'(x) = P'(x) + Q'(x)

1.2 จงพิสูจน์ว่า (kP)'(x) = kP'(x)

1.3 จงพิสูจน์ว่า (PQ)'(x) = P'(x)Q(x) + P(x)Q'(x)

2. ให้ P(x) เป็นพหุนามที่ไม่ใช่พหุนามศูนย์และ C $\varepsilon$ F จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม $0 \leqslant r \leqslant deg P(x)$ และ พหุนาม Q(x) $\not=$ 0 ซึ่ง P(x) = (x-c)'Q(x)

3. ให้ P(x) เป็นพหุนาม และ C $\varepsilon$ F เป็นรากของ P(x) จงพิสูจน์ว่า C เป็นรากซ้ำของ P(x) ก็ต่อเมื่อ C เป็นรากของ P'(x)

1.1 แทน P(x) และ Q(x) ด้วยนิยาม
แทนค่าทั้งสองฝั่ง แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ครับ
1.2 เช่นเดียวกันกับข้อหนึ่งครับ