The sgn of a permutation
 

1. จงแสดงว่า $sgn\left(\,\sigma \right) =sgn\left(\,\sigma ^{-1}\right) $ เมื่อ $N$ เป็นเลขผกผัน $(inverse$ $number)$ ของการเรียงสับเปลี่ยน $\sigma $

2. โดยทั่วไปสำหรับเมทริกซ์ $A$ ที่มีขนาด $n\times n$ ใดๆ สัมประสิทธิ์ของ $t$ จากการกระจาย $det(A+tI_n)$ คืออะไร มีความสัมพันธ์อย่างไรกับ $tr(A)$ อย่างไร
:please::please::please: ช่วยหน่อยนะครับ
ปล. ตรงข้อสองอ้ะครับ ผมลอง $A$ มีขนาด $2\times 2$ ผมได้ความสัมพันธ์ว่า สัมประสิทธิ์หน้า $t$ เท่ากับ $tr(A)$ แต่พอลอง $3\times 3$ ยังหาความสัมพันธ์ไม่ได้เลยอ้ะครับ

1. $\text{sgn}(\sigma)=\text{sgn}(\sigma^{-1})$ เพราะว่า $\text{sgn}(1)=1.$
2. สัมประสิทธิ์ของ $t$ จากการกระจาย $\det(I_n + tA)$ คือ $\text{tr}(A)$ ครับ ส่วนถ้าอยากจะหาของ $\det(A+t I_n)$ คงต้องจัดรูป แล้วก็ใช้เอกลักษณ์
$$\det(I_n+tA)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}\left(\sum_{j=1}^\infty\frac{(-1)^j t^j}{j}\text{tr}(A^j)\right)^k$$
See: http://en.wikipedia.org/wiki/Determi...lues_and_trace
ถ้า $A$ มีคุณสมบัติพิเศษเพิ่มเติมก็จะง่ายขึ้นครับ เช่น $A^2=0$ หรือ nilpotent

รบกวนถามเพิ่มหน่อยนะครับ $sgn\left(\,\sigma \right) =(-1)^N$ เมื่อ $N$ เป็นเลขผกผัน $(inverse number)$ ของการเรียงสับเปลี่ยน $\sigma $

คราวที่แล้วผมดูโจทย์ผิดไป 555 เลยเอาสองข้อมารวมกันซะงั้น :sweat: ผมเคยไป search ดูแล้ว มีบางเอกสารที่เขียนไว้แต่ผมอ่านไม่รู้เรื่องอ้ะครับ ประมาณว่า $\sigma $ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของการสลับตำแหน่ง แล้วเกี่ยวกับ $modulo2$ ไม่เข้าใจจริงๆ ครับ ไม่รู้จะเขียน proof อย่างไรเลย ช่วยแนะนำหน่อยนะครับ

และที่ผมยังสงสัยอีกว่า ข้อสองจะเอามาใช้ในข้อ 3. นี้ยังไงอ้ะครับ
3. กำหนดให้ $e_j^i$ แทนเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ที่มีค่าเป็น $1$ ในแถว $i$ และหลักที่ $j$ และเป็นศูนย์ทุกๆตำแหน่งอื่นใดที่ไม่ใช่ตำแหน่ง $i,j$ กำหนดให้ $M_n(R)$ แทนปริภูมิเวกเตอร์ของเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ที่มีสมาชิกอยู่ในสนามจำนวนจริง $R$ ดังนั้นจะพบว่า $det:M_n(R)\rightarrow R$ เป็นฟังก์ชันที่ส่งจากปริภูมิเวกเตอร์ $M_n(R)$ ไปยัง $R$ จงคำนวนค่าต่อไปนี้ และเขียนอยู่ในรูปฟังก์ชันรอยของเมทริกซ์ $(Trace function)$
3.1 $\lim_{t \rightarrow 0} $$\frac{det(I_2 - te_j^i)-det(I_2)}{t}$
3.2 $\lim_{t \rightarrow 0} $$\frac{det(I_n - te_j^i)-det(I_n)}{t}$
3.3 $\lim_{t \rightarrow 0} $$\frac{det(I_n + tA)-det(I_n)}{t}$

modulo $2$ ก็คือการดูว่าเป็นคู่หรือคี่นะแหละครับ: $a\equiv 0 \mod 2$ เมื่อ $2|a$ และ $a\equiv 1 \mod 2$ เมื่อ $2\not|a.$

การเขียน permutation ให้อยู่ในรูปของผลคูณของ transposition(การสลับตำแหน่ง) มีหลักการง่ายๆคือ $$(12345)=(12)(13)(14)(15)$$ ตัวอย่างเช่น $\sigma=(1459)(26)(378)=(14)(15)(19)(26)(37)(38)$ ส่วน inverse number ก็เป็นจำนวนของ transposition ทั้งหมด ในกรณีนี้ก็คือ 6 ดังนั้น $\text{sgn}(\sigma)=(-1)^6=1$

ส่วนข้อที่สามก็ลองเขียน $\det(I_n+tA) = 1 + \text{tr}(A)t+O(t^2)$ แล้วลองหาลิมิตดูครับ

ขอบคุณ ครับ :)

For a permutation $\sigma \in S_n$ , let $In\left(\,\sigma \right) $ be the inversion number of $\sigma$ namely, the number of pair $(i,j)$ in which$ i<j$ but $\sigma \left(\,i\right) <\sigma \left(\,j\right)$ . For a Matrix $M=\left(\,m_j^i\right)_{n\times n}$ , define
$Per^\diamond (M)=\sum_{\sigma \in S_n} In\left(\,\sigma \right)m_{\sigma (1)} ^1m_{\sigma (2)} ^2...m_{\sigma (n)} ^n $
Compute $Per^\diamond \left(\,\bmatrix{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} \right) $

ตอบเท่าไรอ้ะครับ เหมือนผมจะเข้าใจผิด :sweat::cry: ผมตอบ 0 ไป ได้ไม่เท่าเพื่อน คิด inversion number ผิดแน่เลย

ควรเป็น
the number of pair $(i,j)$ in which$ i<j$ but $\sigma \left(\,i\right) > \sigma \left(\,j\right)$ ป่าวครับ

แล้วก็
หรือว่า
$Per^\diamond (M)=\sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{In\left(\,\sigma \right)}m_{\sigma (1)} ^1m_{\sigma (2)} ^2...m_{\sigma (n)} ^n $ ครับ

ถ้าเป็นอย่างแรก ไม่มีทางได้ 0 แน่ๆ เพราะว่าไม่มีเครื่องหมายลบโผล่มาเลย
ถ้าเป็นอย่างหลัง $Per^\diamond (M)=\det(M)$ ครับ

โจทย์ตามนั้นเลย ครับIn เป็นการนับจำนวน inversion of number ของ sigma อ้ะครับ

ส่วนตรงที่แก้ให้ผม ใช่แล้วครับ sigma(i)>sigma(j) แหะๆ ผมพิมผิด

ผมได้ $Per^\diamond \left(\,\bmatrix{1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} \right) = 795$

ผม เข้าใจนิยามผิดเอง เสียดายมากๆ ขอบคุณคับ