พิจารณาสมการ $\sin 3A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

จะได้ว่า $\sin A = \sin \frac{\pi}{9}, \sin \frac{7\pi}{9}, \sin \frac{13\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ

ให้ $\sin A = x$ แล้วจะได้ว่า $3x-4x^3=\frac{\sqrt{3}}{2}$

ให้ $y= \frac{1}{x^2}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ $3y^3-36y^2+96y-64=0$

ดังนั้น ผลบวกของรากจะเท่ากับโจทย์ $=-\frac{-36}{3}=12$

สังเกตว่า
$$\cos\frac{2\pi}{3}=4\cos^3\frac{2\pi}{9}-3\cos\frac{2\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{4\pi}{3}=4\cos^3\frac{4\pi}{9}-3\cos\frac{4\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{8\pi}{3}=4\cos^3\frac{8\pi}{9}-3\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$
นั่นคือ $\cos\frac{2\pi}{9},\cos\frac{4\pi}{9},\cos\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ (สังเกตว่ามีสามรากพอดี)
$$4x^3-3x+\frac{1}{2}=0$$
จากสมการดังกล่าวจะได้ว่า
$$(4x^3-3x)^2=\frac{1}{4}$$
$$16x^6-24x^4+9x^2=\frac{1}{4}$$
จะได้ว่า $\cos^2\frac{2\pi}{9},\cos^2\frac{4\pi}{9},\cos^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16y^3-24y^2+9y=\frac{1}{4}$$
และได้ว่า $1-\cos^2\frac{2\pi}{9},1-\cos^2\frac{4\pi}{9},1-\cos^2\frac{8\pi}{9}$
หรือ $\sin^2\frac{2\pi}{9},\sin^2\frac{4\pi}{9},\sin^2\frac{8\pi}{9}$ เป็นรากของสมการ
$$16(1-y)^3-24(1-y)^2+9(1-y)=\frac{1}{4}$$
$$64y^3-96y^2+36y-3=0$$
และจะได้ว่า $\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}},\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}$ เป็นรากของสมการ
$$64(\frac{1}{y})^3-96(\frac{1}{y})^2+\frac{36}{y}-3=0$$
$$3y^3-36y^2+96y-64=0$$
โดยความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์จะได้ว่า
$$\frac{1}{\sin^2\frac{2\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{4\pi}{9}}+\frac{1}{\sin^2\frac{8\pi}{9}}=12$$

$$\frac{1}{cos^{2}10^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{1}{\frac{1+cos20^{\circ}}{2}}+\frac{ 1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})^{2}}$$
$$=\frac{2}{1+cos20^{\circ}}+\frac{1}{1-cos^{2}20^{\circ}}+\frac{1}{4(1-cos^{2}20^{\circ})cos^{2}20^{\circ}}$$
ให้ $a=cos20^\circ$ จะได้ว่า
$$=\frac{2}{1+a}+\frac{1}{1-a^{2}}+\frac{1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{2(4a^{2})(1-a)+(4a^2)+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8a^3+12a^2+1}{4(1-a^{2})a^{2}}$$
$$=\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}$$
เพราะ $cos60^{\circ}=4cos^{3}20^{\circ}-3cos20^{\circ}$
จึงได้ว่า $-8cos^{3}20^{\circ}=-2cos60^{\circ}-6cos20^{\circ}=-1-6cos20^{\circ}$
นั่นคือ $$\frac{-8cos^{3}20^{\circ}+12cos^{2}20^{\circ}+1}{sin^{2}40^{\circ}}=\frac{(-1-6cos20^{\circ})+12cos^{2}20^{\circ}+1}{(sin40^{\circ})(2sin20^{\circ}cos20^{\circ})}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{2sin40^{\circ}sin20^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-cos60^{\circ}}$$
$$=\frac{6(2cos20^{\circ}-1)}{cos20^{\circ}-\frac{1}{2}}$$
$$=12$$
:great:

ให้ $z=\cos\left(\dfrac{\pi}{9}\right)+i\sin\left(\dfrac{\pi}{9}\right)$

จะได้ว่า

$\sin 20^{\circ}=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}$

$\sin 40^{\circ}=\dfrac{z^2-z^{-2}}{2i}$

$\sin 80^{\circ}=\dfrac{z^4-z^{-4}}{2i}$

และ $z^9=-1$

$(z^3+1)(z^6-z^3+1)=0$

$z^6=z^3-1$

$z^7=z^4-z$

$z^8=z^5-z^2$

$z^9=-1$

จึงได้

$\dfrac{1}{\sin^2 20^{\circ}}+\dfrac{1}{\sin^2 40^{\circ}}+\dfrac{1}{\sin^2 80^{\circ}}=\dfrac{-4}{(z-z^{-1})^2}+\dfrac{-4}{(z^2-z^{-2})^2}+\dfrac{-4}{(z^4-z^{-4})^2}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{14}+3z^{12}+3z^{10}+7z^8+3z^6+3z^4+z^2}{(z^8-1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{14}+3z^{12}+3z^{10}+7z^8+3z^6+3z^4+z^2}{(-z^{-1}-1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{z^{16}+3z^{14}+3z^{12}+7z^{10}+3z^8+3z^6+z^4}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{-(z^4-z)-3z^{5}-3z^{3}-7z+3(z^5-z^2)+3(z^3-1)+z^4}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=-4\left[\dfrac{-3z^{2}-6z-3}{(z+1)^2}\right]$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=12$