product rule of vector
 

ไม่ทราบว่าสามารถนำวิธีพิสูจน์ product rule ของfunction R-->R มาใช้กับ product rule ของ vector ได้รึเปล่าครับ คือตอนนี้เค้าให้พิสูจน์ว่า D(FG)(t) = F(t)DG(t) + G(t)DF(t) เเล้ว FกะG เป็นfunction R-->R^3 อ่ะครับ

What is the definition of $(FG)(t)$ ?

F(t)G(t) อ่ะครับ

แล้วก็ขอโอกาสถามอีกข้อไปเลยได้ป่ะครับ
F: [a,b]-->R^3 is a function that parameterizes curve K (meaning that F(a) = F(b)). Suppose that P is a point not on the curve. If Q = F(t) is a point on K that is close to P as possible (a<t<b), prove that vector PG is perpendicular to F'(t).
ถ้าคิดเป็นแบบเส้นสัมผัสวงกลมตั้งฉากกลับรัสมีจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดที่สัมผัสจะได้ไหมอ่ะครับ

$(FG)(t)$ should be the dot product krub.

If $F(t)=(F_1(t),F_2(t),F_3(t)),G(t)=(G_1(t),G_2(t),G_3(t))$

then $(F\cdot G)(t)=F_1(t)G_1(t)+F_2(t)G_2(t)+F_3(t)G_3(t)$.

The product rule for real-valued functions is enough to prove this statement.

Consider the function

$f(s) = \|P-F(s)\|^2$.

Then $f'(s)=-2(P-F(s))\cdot F'(s)$.

Since $Q=F(t)$ is the closest point to $K$, $s=t$ is the minimizer of $f(s)$.

This implies $f'(t)=0$.

Thus $-2(P-F(t))\cdot F'(t)=0$ or $(Q-P)\cdot F'(t)=0$.

This means that the vector $\overrightarrow{PQ}$ is perpendicular to $F'(t)$.