โจทย์ตรีโกณมิติในรูปสี่เหลี่ยมใดๆ
กำหนดให้มุม $A$ มุม $B$ มุม $C$ เเละ มุม $D$ เป็นมุมภายในรูป $\square ABCD$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{tan A + tan B + tan C +tan D}{cot A +cot B + cot C +cot D} = tan A \cdot tan B \cdot tan C \cdot tan D$$
|
\[ให้ tan(A)=x,tan(B)=y,tan(C)=z,tan(D)=w\] \[จาก tan(\alpha+\beta) =\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-(tan\alpha)(tan\beta)}\] \[จะได้ว่า tan(A+B)=\frac{x+y}{1-xy},tan(C+D)=\frac{w+z}{1-wz}\] \[ได้ว่าtan(A+B+C+D)=\frac{\frac{x+y}{1-xy}+\frac{w+z}{1-wz}}{...}\] \[ จากA+B+C+D=360องศา ซึ่ง tan(360องศา)=0 \] \[ ฉะนั้น {\frac{x+y}{1-xy}+\frac{w+z}{1-wz}}=0 \] \[\therefore(x+y+z+w)=\sum_{Cyc} xyz \] \[\because(x+y+z+w)=\sum_{Cyc} xyz \] \[\therefore\frac{x+y+z+w}{\sum_{Cyc} xyz}=1 \] \[ คูณ xyzw... \frac{x+y+z+w}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}}=xyzw \] \[\therefore\frac{tan A + tan B + tan C +tan D}{cot A +cot B + cot C +cot D} = tan A \cdot tan B \cdot tan C \cdot tan D \] |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha