ถามเกี่ยวกับสมการเชิงฟังก์ชันครับ
 

สมมติว่ามีโจทย์ให้หา $f:R\rightarrow R$

แล้วผมแทนไปแทนมาจนได้ $f(f(x)-x)=3$

ผมจะสามารถสรุปได้ไหมครับว่า $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคงตัว หรือ $f(x)-x$ เป็นค่าคงตัว

สรุปได้ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ

ถ้า $a \not= b$ แล้ว $f(a) \not= f(b)$ จะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ
ถ้า $a \not= b$ แล้ว $f(a)=f(b)$ ตรงนี้จะได้ว่า $f$ ไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ความความแรกสมมูลกับข้อความนี้
ถ้า $f(a)=f(b)$ แล้ว $a=b$ จะได้ $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 (มาจาก $p \rightarrow q \equiv \sim q \rightarrow \sim p)$
เพราะฉะนั้นสำหรับ $i \not= j$ ถ้า $f(f(x_{i})-x_{i})=f(f(x_{j})-x_{j}))$ แล้ว $f(x_{i})-x_{i}=f(x_{j})-x_{j}$ ทุก $x_{i},x_{j}$ $\in \mathbb{R}$
การจะสรุปข้อความนี้ได้ ต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ

ปล.ในโจทย์อาจจะบอกทางอ้อมสำหรับสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 ก็ได้ครับ เช่น $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้
หรือ ลองดูนี่ http://www.proofwiki.org/wiki/Contin...ictly_Monotone
บทความบอกว่า ถ้า $f$ ต่อเนื่องบนช่วงปิด จะได้ว่า $f$ bijective ก็ต่อเมื่อ $f$ strictly monotone

แล้วถ้าไม่เป็น 1-1 แล้วจะเกิดอะไรขึ้นหรอครับ

สรุปไม่ได้ครับ

ลองโพสต์โจทย์เต็มๆมาดูครับ เผื่อจะช่วยได้บ้าง

เอ๊อ!! ผมมีอะไรจะให้ http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/...20Problems.pdf

ในนี้มีเฉลย FE ของค่าย 2 มีนา 56,57 ครบทุกข้อเลย ไม่รู้อาจารย์เอามาจากอันนี้หรือเปล่านะ
แต่ไม่มีข้อ 1,2 ค่ายมีนาปีล่าสุด ซึ่งขนมนมเนยมาก ก็น่าจะทำกันได้ทุกคน

ผมจำโจทย์ไม่ได้ละครับ ผมแค่ค้างคามาเฉยๆครับ 555 ขอบคุณสำหรับไฟล์ครับ

Dear polsk133,

I don't know if you'll be interested in the following example or not. Please see if this helps you in any way. I hope you'll like it. Let's consider the following $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ defined as
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2+x+3 &\text{ when } 0<x<3 \\
3 &\text{ otherwise}
\end{cases}
\]
This function is not constant, but it satisfies $\forall x \in \mathbb{R}, f(f(x)-x)=3$.

thank you very much :sung:

Is there any continuous counterexample?