Functional Equation
 

หาฟังก์ชันทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$ ซึ่ง $f(f(m)+f(n))=m+n$

Alternative Solution ครับ

จาก $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f\Big(f\big(f(a)+f(b)\big)+f\big(f(c)+f(d)\big)\Big)=f(a+b+c+d)$

จะได้ $f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=f(a+b+c+d)=f(a-1)+f(b+1)+f(c)+f(d)$

นั่นคือ $f(a)-f(a-1)=f(b+1)-f(b)$ ทำให้ $f(n)-f(n-1)=f(n+1)-f(n)$

สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและเมื่อแทนกลับได้ $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ ครับ