สมมติให้ $x \le y$
ถ้า $15 \le x \le y$ จะได้ $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \le \dfrac{2}{15}$

จากนั้นก็ไล่ $x=8,9,...,14$ เพื่อหาค่า $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ ที่สูงที่สุดที่ไม่เกิน $\dfrac{1}{7}$ ครับ

$\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{57}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{3192}$
$\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{2016}$
$\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{24}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{840}$
$\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{513+\frac{1}{3}}$
$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{17}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{1428}$
$\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{16}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{291+\frac{1}{5}}$
$\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{210}$

ดังนั้นค่า $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ ที่มากที่สุดจึงเป็น $\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{57}$

นั่นคือค่า $\dfrac{xy}{x+y}$ ที่น้อยที่สุดจะเท่ากับ $\dfrac{8 \cdot 57}{8+57}=7+\dfrac{1}{65}$ ครับ