abelian grupครับ
 

รบกวนทีนะครับ

Let $ G $ be a group.If $ (ab)^2 = (ba)^2 \forall a,b\in G $ , then $ G $ is abelian.

ลองไปพิสูจน์ก่อนครับว่า $(ab)^2=b^2a^2$ ไม่ก็ $(ba)^2=a^2b^2$
เลยได้ว่า
$(ab)^2=(ba)^2$
$(ab)(ab)=a^2b^2$
$a(ba)b=a(ab)b$
$ba=ab$

ขอบคุณครับ จะลองดูครับบ

คือ รบกสนอีกทีนะครับ ปกติ ผมเคยเห็นแต่ $ (ab)^2 = a^2b^2$ อ่ะครับ แต่แบบนี้ $(ab)^2=b^2a^2$ มันยังจริงอยู่เหรอครับ

โจทย์ครบถ้วนแน่นะครับ

โทษทีครับ ผมไปรื้อกระดาษทดดูพบว่าทดผิดไปบรรทัดนึง:blood:
จริงๆแล้วข้อนี้แค่เงื่อนไข $ (ab)^2 = (ba)^2$ ยังไม่จำเป็นต้อง imply commutative ครับ
สมมติ $ab\not= ba$ แปลว่า $(ab)^2\not= a^2b^2$, $(ba)^2\not= b^2a^2$
แต่จากโจทย์บอก $ (ab)^2 = (ba)^2$ แปลว่า $b^2a^2\not= a^2b^2$ (มอง $a^2=x,b^2=y$ มันคือ $xy\not= yx$ นั่นเอง) นั่นคือไม่จำเป็นต้อง commutative ก็ได้ ไม่มีอะไรขัดแย้งกับที่สมมติไว้ว่า G ไม่เป็น abelian ตั้งแต่แรก

โทดทีนะครับ ทุกคน โจทย์ผิดจริง จริงๆคือเป็น True False ครับ ค้านด้วย Quartermion group ยังไงก็ขอบคุณนะครับ ที่ช่วยมาตอบบ

โจทย์ข้อนี้จะจริงถ้ามีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า

$G$ ไม่มีสมาชิก order $2$ ครับ