ข้อสอบตรง มอ. 2556
 

ช่วยกันเฉลยหน่อยเน้อ ไม่ได้หากันง่ายๆนะข้อสอบแบบนี้ :happy:

3.

$ABAB=A\bullet 10^3+B\bullet 10^2+A\bullet 10^1+B=10A(101)+B(101)=101(10A+B)$

เนื่องจาก $ABAB$ มีตัวประกอบ $6$ ตัว ดังนั้น $10A+B$ ต้องเป็นกำลังสองสมบูรณืของจำนวนเฉพาะและเป็นเลขสองหลัก

$5^2,7^2$

$25,49$

$A=2,B=5$ หรือ $A=4 ,B=9$

แต่ $(ABAB,55)=1$ ดังนั้น $B\not= 5$

$A=4, B=9, A+B=13$

ขอบคุณมากคับ อยากให้ช่วนเฉลยข้อ 3,4 ตอน 2 หน่อย

3 ตอนที่2

สังเกตว่า $x^{100}+10x^{10}+1>0$ เสมอ

ดังนั้น $nx<0$ แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกดังนั้น $x<0$

สมมติ ให้ $-1$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ(เพื่อง่ายต่อการแทนค่า)

$x^{100}+10x^{10}+nx+1=0$

$1+10-n+1=0$

$n=12$

4 ตอนที่ 2

$\frac{3}{x}log2=\frac{3}{y} log3=\frac{2}{z}(log2+log3)$

$y=x\frac{log3}{log2}$

$z=\frac{2x(log2+log3)}{log2} $

$\frac{x+y}{z}$

$=\frac{x+x\frac{log3}{log2}}{\frac{2x(log2+log3)}{log2} } $

$=\frac{1+\frac{log3}{log2}}{\frac{2(log2+log3)}{log2} } $

$=\frac{log2+log3}{2(log2+log3)}=0.5$

10.$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=0$
จาก $\left|\,a-b\right|\leqslant \left|\,a\right| +\left|\,b\right| $
ดังนั้น $\left|\,z_1-z_2\right| +\left|\,z_3-z_4\right| +\left|\,z_5-1\right|\leqslant \left|\,z_1\right|+\left|\,z_2\right| +\left|\,z_3\right|+\left|\,z_4\right| +\left|\,z_5\right| +\left|\,1\right| $

$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4)(x-z_5)$
$1+z+z^2+z^3+z^4+z^5=(z+1)(z^4+z^2+1)$
$z^4+z^2+1=0$
$z^2=\frac{-1\pm \sqrt{3}i }{2} $
$z^2=\frac{-1+ \sqrt{3}i }{2},\frac{-1- \sqrt{3}i }{2}$
$z=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} ,\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2} ,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$
จะเห็นว่าแต่ละเทอมมี $\left|\,z\right| =1$
จะได้ว่า $\left|\,z_1-z_2\right| +\left|\,z_3-z_4\right| +\left|\,z_5-1\right|$ มีค่าสูงสุดคือ 6

ข้อ9.ธงอาเซียนติดอยู่ตรงกลาง ดังนั้นจำนวนวิธีในการเรียงธงทั้งหมดเท่ากับ $10!$
ไทย,มาเลฯและสิงค์โปร์ติดกัน ก็จับมัดรวมกัน ดังนั้นวางได้ 2 กรณีคือด้านซ้ายหรือขวาของธงอาเซียน
1.วางด้านซ้าย
เกิดจำนวนวิธีเท่ากับ $3!3!\binom{7}{2} 5!$
2.วางด้านขวา
เกิดจำนวนวิธีเท่ากับ $3!3!\binom{7}{2} 5!$

ความน่าจะเป็นที่ธงไทย,มาเลฯและสิงค์โปร์ติดกัน เท่ากับ $\frac{2\times3!\times3!\times21 }{10\times9\times8\times7\times6}=\frac{1}{20} $

7.ให้ $\arcsin0.6=A,\arccos0.6=B$
$\sin A=0.6=\frac{3}{5} ,\cos B=\frac{3}{5}$
$\sin A =\cos B$ ดังนั้น $A+B=\frac{\pi }{2} $
$6A=\pi-6B$
$\cos A =\frac{4}{5} $
$\sin B =\frac{4}{5}$
$5\sin (6A+5B) =5\sin (\pi-6B+5B)=5\sin (\pi-B)=5\sin B$
$=4$

หรือมองว่า $5\sin (6A+5B) =5\sin (5(A+B)+A)=5\sin (2\pi+\frac{\pi }{2}+A)=5\sin (\frac{\pi }{2}+A)=5\cos A$
$=4$

ขอบคุณคุณ กิตติ มากครับอยากถามว่าข้อสอบ กสพท. ยากหรือง่ายกว่านี้ครับ ?

6.จาก $y=ax^2+x$
$y=a(x^2+2(\frac{1}{2a})x+\frac{1}{4a^2})-\frac{1}{4a}$
$y=a(x+\frac{1}{2a} )^2-\frac{1}{4a}$
$y=a(x+\frac{1}{2a} )^2+(-\frac{1}{4a})$
ค่า $y$ ที่จุดสูงสุดคือ $5$ ที่ $x=-\frac{1}{2a} $
$-\frac{1}{4a}=5$
$a=-\frac{1}{20} $
ค่า $x=10$ ทำให้ได้ค่า $y$ สูงสุด
สมการคือ $y=-\frac{x^2}{20}+x$
จุดตัดแกน $x$ คือ $y=0$
$-\frac{x^2}{20}+x=0$
$-x(\frac{x}{20}-1)=0$
$x=0,20$
ดังนั้น $b=20$

เท่าที่ผมผ่านตามานั้น กสพท.มีทั้งข้อยากและข้อง่าย ส่วนมากยากกว่านิดหน่อย ยังไงก็ตามผมเชื่อว่าไม่ยากเกินความพยายามของน้องๆ
ข้อ 8.
$\log(x-1)\left(\,\log(x-2)\right)^2 \left(\,\log(x-3)\right)^3<0 $
$x>3$
เนื่องจาก $\left(\,\log(x-2)\right)^2 \geqslant 0,\left(\,\log(x-3)\right)^2\geqslant 0$
เหลืออสมการแค่
$\log(x-1) \left(\,\log(x-3)\right)<0$
จะได้ว่าช่วงของค่า $x$ ที่ทำให้ $\log(x-1)\left(\,\log(x-2)\right)^2 \left(\,\log(x-3)\right)^3<0 $ คือ $3<x<4$

$a=3,b=4,a+b=7$

9.$\cos 2x=\frac{1}{8} ,\cot y=-\frac{3}{4} $

$\cos^2x=\frac{9}{16} \rightarrow \cos x=-\frac{3}{4} $
$\tan y=-\frac{4}{3}$
$\sin y=-\frac{4}{3}(\cos y)$
$\sin^2 y+\cos^2 y=1$
$\frac{16}{9}(\cos^2 y)+\cos^2 y=1$
$\cos^2 y=\frac{9}{25} $
$\cos y=\frac{3}{5}$

$\cos x+\cos y=-\frac{3}{4}+\frac{3}{5}=-\frac{3}{20} $

10.$\sin 2\theta -2\cos \theta-\cot \theta=0$ และ $\sin \theta\not= 0$
$2\sin \theta \cos \theta-2\cos \theta-\frac{\cos \theta}{\sin \theta} =0$
$2\sin^2 \theta \cos \theta-2\cos \theta \sin \theta-\cos \theta=0$
$\cos \theta\left(\,2\sin^2\theta -2 \sin \theta-1\right)=0$
$\cos \theta=0$ หรือ $2\sin^2 \theta-2 \sin \theta-1=0$
สมการนี้มีค่า $\sin \theta=\frac{1\pm \sqrt{3} }{2} $ มีค่าที่ใช้ได้คือ $\sin \theta=\frac{1- \sqrt{3} }{2}$
ดังนั้นเหลือคำตอบคือ $\cos \theta=0 \rightarrow \theta=\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2} $ กับ $\sin \theta=\frac{1- \sqrt{3} }{2}$
ทั้งหมด 3 ค่า

14.แบ่งได้ 2กรณี
1.อาทิจกับดรุณีอยู่ในกลุ่ม4คนในสวนส้ม คือแบ่งคน 6 คนที่เหลือออกเป็นกลุ่มละ 2 คนทั้งหมด 3 กลุ่มเกิดได้ $\frac{6!}{2!2!2!}=90 $
2.อาทิจกับดรุณีอยู่ในกลุ่ม2คนในสวนลิ้นจี่หรือลำไย คือแบ่งคน 6 คนที่เหลือออกเป็นกลุ่มละ 2 คนกับ 4 คน เกิดได้ $\frac{6!}{4!}=30 $
รวมได้ทั้งหมด $120$ วิธี

ทำไปเรื่อยๆเท่าที่ได้ ถ้าคิดผิดก็บอกด้วยแล้วกันครับ

$\sum_{i = 1}^{\infty} =\frac{2^{i+3}}{3^i} =16=s$

$\sum_{i = 1}^{s} i^2=\sum_{i = 1}^{16} i^2=\frac{16(16+1)(2(16)+1)}{6} $
$=8\times 17\times 11=1496$