Algebra
 

บังเอิญเข้าเว็บคณิตไปมั่วๆแล้วเจอน่ะครับช่วยคิดหน่อย

$x=7+5\sqrt{2}$ จงหาค่าของ $\sqrt[3]{x} +\frac{1}{\sqrt[3]{x}} $

ไม่เคยเจอเลยครับแบบนี้ให้หาค่าของรากที่น้อยกว่า เคยเจอแต่มากกว่าอ่ะครับ
ช่วยเฉลยอย่างละเอียดด้วยนะครับ

เจอมั่วๆ ก็ทำแบบมั่วๆได้ $\sqrt{8} $
hint
สังเกต $x+\frac{1}{x}=10\sqrt{2} $ แล้วก็แก้สมการตามปกติโดยยกกำลังสาม

ไม่เข้าใจอ่ะครับว่าทำไมถึงจะยกกำลังสาม ช่วยอธิบายทีครับผมไม่ค่อยเก่งน่ะครับ:please::please:

$A=\sqrt[3]{x}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
$10\sqrt{2}=x+\displaystyle \frac{1}{x}=A^3-3A$
$0=(A-2\sqrt{2})(A^2+2\sqrt{2}A+5)$

อีกข้อนึงครับข้อนี้ไม่มั่นใจว่าถูกไหม

ให้ $a,b,c,d\in \mathbf{R} $และ$1+a^2+b^2+c^2+d^2=a+b+c+d$
จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2+d^2$

วิธีของผมผิดตรงไหนช่วยบอกหน่อยครับ

$a^2+b^2+c^2+d^2-a-b-c-d+1=0$
$(a^2-a)+(b^2-b)+(c^2-c)+(d^2-d)+1=0$
จัดรูปจะได้
$(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2+(d-\frac{1}{2})^2-1+1=0$
$(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2+(d-\frac{1}{2})^2=0$
แสดงว่า $a=b=c=d=\frac{1}{2}$
เพราะฉะนั้น $a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$
$=4(\frac{1}{4})$
$=1$
ใช่ไหมครับผมรู้สึกเหมือนพลาดตรงไหนสักที่นึง

ต้องได้ $a=b=c=d=\frac{1}{2}$ ครับ
$a^2+b^2+c^2+d^2=1$

จริงด้วยขอบคุณมากครับผิดอีกแล้ว ขอลองอีกข้อแล้วกันนะครับ แก้แล้วครับ
จงหาของต่ำสุดของ $x^3+x^2+x+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}$ โดยที่ $x\geqslant 0$

ใช้ $A.M.-G.M$ ได้ไหมครับ
$\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\geqslant (\sqrt{1})$
ในทำนองเดียวกัน
$\frac{x^2+\frac{1}{x^2}}{2}\geqslant (\sqrt{1})$
$\frac{x^3+\frac{1}{x^3}}{2}\geqslant (\sqrt{1})$

เพราะฉะนั้นค่าต่ำสุดคือ $2+2+2=6$
ใช่ไหมครับช่วยตรวจที

จะมาบอกให้ก็ว่า ถ้าไม่กำหนดขอบเขตให้ ค่าต่ำสุดจะหาค่าไม่ได้
ถ้าเป็นจำนวนจริงบวก ก็ถูกละ :)

จริงด้วยครับ แก้ไขแล้วครับ
แล้วถ้าเราจะทำแบบพีชคณิต เราจะทำยังไงดีอ่ะครับ
มีอีกข้อนึงครับ
ให้$a,b,c$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $a^2+b^2+c^2=\frac{2}{3}(ab+bc+ac)$
จงหาค่าของ $a+b+c$

$\begin{array}{rcl}
3a^2+3b^2+3c^2&=&2ab+2bc+2ca\\
&\leqslant &(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)\\
&=&2a^2+2b^2+2c^2\\
a^2+b^2+c^2&\leqslant &0
\end{array}$
ดังนั้น $a=b=c=0$

คุณ Amankris มีโทย์พวกนี้บ้างไหมครับอยากลองทำอีก
ถ้าใครมีก็ช่วยมาโพสต์กันด้วยนะครับ
(คุณ Amankris อยู่ศูนย์ไหนหรอครับเก่งมากๆ)

ต้องบอกว่า $\frac{x+\frac{1}{x}}{2}\geqslant \sqrt{1}$ สิครับ
แล้วจึงได้ว่า $x+\frac{1}{x}\geqslant 2$ ตัวอื่นด้วยครับ

ลองดูนะครับ

หา $(x,y)$ ที่เป็นจำนวนจริง

ข้อ $\alpha ).\ \ \ -25(x-y)^2=2(x-1)(y-1)$

ข้อ $\beta ).\ \ \ 9x^2+7y^2+3=4xy+7x+5y$

ข้อ $\gamma ).\ \ \ 27x^2+12y^2+3\leqslant 6xy+17x+2y$

ปล.ไม่ได้อยู่ศูนย์ไหนหรอกครับ:sung:

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่าช่วยเช็คหน่อยนะครับ
$25(x-y)^2+2(x-1)(y-1)=0$
$25(x-y)=0$
$x=y$
$2(x-1)(y-1)=0$
$x=1$
$y=1$

$(x,y)=(1,1)$
ลองเช็คดูให้หน่อยครับ

บรรทัดที่สองมายังไงเอ่ย