ปัญหาจาก TMC 3rd ม.4 ครับ
 

พอดีว่าผมนั่งคิดยังไงมันก็ตันอ่ะครับไม่รู้จะไปยังไงดี รบกวนขอให้พี่ๆช่วยหน่อยนะครับ
หรือจะลองใบ้ๆให้ผมก่อนก็ได้

$1.กำหนด f เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็ม ถ้า f(13)=f(31)=0$
แล้ว ค่าในข้อใดต่อไปนี้คือค่าที่เป็นไปได้ของ $f(20)$

ก.$103$
ข.$1001$
ค.$2013$
ง.$2556$
จ.$3113$
_________________________________________________________

2.กำหนด $a=2^{{3}^{4}}$ และ $ิb=2^{{4}^{3}}$

ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะห้าหลัก ซึ่งหาร $a+b$ ลงตัว แล้ว

$p$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
_________________________________________________________

3.กำหนด $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนเต็มบวกไปเซตของจำนวนเต็มบวกซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข

$f(n+2)=f(n+1)+f(n)$ สำหรับทุกค่าของจำนวนเต็มบวก $n$

ถ้า $f(10)=2013$ แล้ว ค่าสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $f(2)$ เท่ากับเท่าใด

1. แสดงว่า $f(x)=(x-31)(x-13)q(x)$

$f(20)=-77q(20)$ ตอบช้อยที่ 77 หารลงตัว

2.$ a+b=2^{64}(2^17+1)$ กระจายก้อนหลังเลยครับ

3.จากสมการที่ได้มา หา f(2) ในรูป f(1) ให้ได้

ข้อ1 เข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากเลย ผมพึ่งเคยเจอโจทย์แบบนี้


ข้อสอง ผมก็ยังติดอยู่ครับ

ข้อสามพยายามอยู่ เริ่มจะติด มีคำใบ้อีกมั้ยครับ

ขอบคุณมากครับ ที่มาตอบ ทำให้ผมมีกำลังใจมากขึ้น ในการฝึกฝน

2. จาก p เป็นจำนวนเฉพาะ 5 หลัก ดังนั้น p ไม่ใช่ 2 แน่นอน แสดงว่า p หาร $2^{17}+1$ ลงตัว ลองกระจายออกมาเลยครับ $2^{17}+1$ นี่ประมาณ5-6หลัก แล้วลองคิดดูถ้าอยากได้ค่า p ต้องทำอย่างไร โดยที่เรารู้ว่า p มี 5 หลัก

3. f(10)=f(9)+f(8)

f(9)=f(8)+f(7) เอาไปแทน ได้ f(10)=2f(8)+f(7) แล้วก็หา f(8) แทนต่อไปเรื่อยๆจนเหลือแต่ f(2) กับ f(1) ครับ

จากนั้นแทนค่า f(10) ที่โจทย์ให้มา จัดรูป f(2)=... ในรูป f(1) แล้ววิเคราะห์ว่าจากโจทย์บอกว่า f(2) ,f(1) เป็นจำนวนเต็ม เราจะต้องทำอย่างไรต่อ

ข้อ 3 ตอบ 45 ครับ

ข้อสองยังไม่ประัสบความสำเร็จอ่ะครับ tt' พยายามจะกระจายแต่ก็วนไปวนมาา

$2^{17}+1=131073$ เนื่องจากเรารู้ว่า p มี 5 หลักเราเลยเช็คแค่ว่า 1-13 มีตัวไหนหารตัวนี้ลงตัวบ้าง

พบว่า 3 หารลงตัว ดังนั้น 131073=3x43691

ต่อมาพิจารณาว่า 43691 เป็นจำนวนเฉพาะหรือยัง เช็คแบบเดิมคราวนี้เช็คแค่ 1-4 ว่ามีตัวไหนหารลงตัวบ้าง ซึ่งไม่มี

ดังนั้นตอบ 43691

เนื่องจากเรารู้ว่า p มี 5 หลักเราเลยเช็คแค่ว่า 1-13 มีตัวไหนหารตัวนี้ลงตัวบ้าง
หมายความว่ายังไงหรอครับ มายังไง ขอโทดนะครับผมไม่เข้าใจจริงๆ

$131073$ หารด้วย 14 จะเหลือผลหารที่มีกี่หลักครับ?? ขนาด จำนวนนวนที่มากกว่าอย่าง $140000$ หารด้วย 14 ยังได้ 10000 ซึ่งเป็นจำนวน5หลักที่น้อยที่สุด

ดังนั้น $131073$ หารด้วยจำนวนที่มากกว่า 13 จะได้ผลหารที่มีค่าน้อยกว่า 5 หลักแน่นอน

จึงเพียงพอที่จะเช็คตัวหารแค่ 1-13

ผมพลาดเองครับ มัวแต่หน้ามืดคิดว่ามันยากเราทำไม่ได้ไม่เข้าใจ ขอบคุณจริงๆครับ ผมได้ความรู้ใหม่เยอะแยะเลย
ขอบคุณที่มาตอบคำถามครับ :)

ลองสังเกตแบบนี้ดูครับ $2^{17}+1=(2+1)(2^{16}-2^{15}+...-2+1)$ :)

กำลังหา TMC อยู่พอดีเลยครับ
ขอบคุณมากครับ

โอ้ว สุดยอดอ่ะครับ ทำไมเก่ง