Algebra Marathon
 

เห็นกระทู้มาราธอนและมินิมาราธอนทั้งหลายขายดีครับ คนชอบพีชคณิตอย่างผมเลยอดไม่ได้ที่จะตั้งกระทู้นี้บ้าง :D กติกายังเหมือนเดิมครับ ขอเริ่มจากง่ายๆก่อนละกัน เรียกขวัญกันหน่อย :)

1. ให้ \( \Large{ f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 } \) นิยามโดย
\[ \Large{ f(x,y) = ( (x+y)^3,x-y ) } \]

(a) จงพิสูจน์ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
(b) จงหา f^-1

หมายเหตุ
1. \( \Large{\mathbb{R}^2 } = \{(x,y) | \text{ x,y เป็นจำนวนจริง} \} \)
2. f เป็นฟังก์ชันทั่วถึงด้วย แต่การพิสูจน์รวมอยู่ในข้อ (b) แล้ว :)

ข้อa ครับ ไม่แน่ใจว่าจะได้รึเปล่า
f(x₁,y₁) = f(x₂,y₂)
(x₁+y₁)³ = (x₂+y₂)³ ู x₁-y₁ = x₂-y₂
x₁+y₁ = x₂+y₂ ู x₁-y₁ = x₂-y₂
x₁-x₂ = y₂-y₁ ู x₁-x₂ = y₁-y₂
y₁-y₂ = y₂-y₁
y₁ = y₂ \ x₁=x₂
ดังนั้น f(x,y) เป็นฟังก์ชัน 1-1

ส่วนข้อ b นั้นจะเห็นได้ว่า ((x+y)³)^1/3+x-y=2x
และ ((x+y)³)^1/3-(x-y)=2y

\ f^-1(x,y)=((x^1/3+y)/2,(x^1/3-y)/2)

ถ้าโจทย์ถูกข้อนี้เป็นข้อสอบ สสวท.รอบ2 ปี48 ครับ
asin²x+bcos²x = 1
acos²y+bsin²y = 1
และ acot x = bcot y
a น b จงหาค่าของ a+b โดยที่ไม่ติดค่า x และ y

0 ถือว่าเป็นคำตอบรึเปล่าเอ่ย...? (ท่าทางจะมีคำตอบอื่น)

ผมคิดได้ a + b = 1 แต่ยังกำจัดอีกกรณีทิ้งไม่ได้เลยยังไม่กล้าตอบครับ
แต่ดูๆไปแล้วถ้าที่ผมคิดมาถูก a + b น 0 ครับ :)

อุ่ย จริงด้วย ย้ายข้างผิดอีกและ :p ผิดไปคนละเรื่องเลย

เดี๋ยวสัก 5 ทุ่มผมลองคิดบ้างดีกว่า ตอนนี้ขอทำงานหลวงก่อน :D

อ่าคิดไม่ออกอ่ะครับ คงต้องให้เซียนตรีโกณอย่างพี่กรมาเฉลยแล้วล่ะครับ
ผมขอเอาโจทย์ที่เพิ่งคิดได้มาลงไว้ก่อนละกันครับ ไปละช่วงนี้ยุ่งมากมาย :D

3. (nooonuii) ให้ f : Q --> Z เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง
จงพิสูจน์ว่า f ไม่เป็น strictly monotone function

P.S.
1. Q = เซตของจำนวนตรรกยะ, Z = เซตของจำนวนเต็ม
2. strictly monotone function คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติว่า
x < y --> f(x) < f(y) ทุกค่า x,y หรือ
x < y --> f(x) > f(y) ทุกค่า x,y

พิสูจน์โดยใช้ contradiction นะครับ

สมมติให้ \(f:\mathbb Q\to\mathbb Z\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น inverse ของ f ดังนั้น g จึงเป็น strictly monotone function ด้วย
นั่นคือ g เป็นฟังก์ชันที่เรียงลำดับค่าของจำนวนตรรกยะทั้งหมดได้ แต่เรารู้ว่าไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง จึงเกิดข้อขัดแย้งขึ้น

ขยายความ: ถ้า \(g:\mathbb Z\to\mathbb Q\) เป็น strictly monotone bijection
ให้ \(g(1)=a\) และ \(g(2)=b\)
เรารู้ว่า \((a+b)/2\in\mathbb Q\) มีค่าอยู่ระหว่าง a กับ b แต่เราไม่มี \(x\in\mathbb Z\) ที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1 กับ 2 ที่จะทำให้ \(g(x)=(a+b)/2\) ได้ ดังนั้นจึงไม่มีฟังก์ชันเช่นนั้นอยู่จริง

ไม่รู้ผมอธิบายวกวนเกินความจำเป็นไปหรือเปล่า :p

คุณ warut หายไปนานเลยนะครับ กลับมาก็ยังคมเหมือนเดิมครับ :D

หลายวันก่อนไปอ่านวารสารเกี่ยวกับพวก recreational mathematics พบชื่อคุณ warut เป็น problem solver ของวารสารนี้ด้วยครับ แต่ไม่รู้ว่าจะใช่คนเดียวกันรึปล่าว :confused: :D

แหะๆ...เป็นเรื่องเกี่ยวกับอะไรเหรอครับ อาจใช่ก็ได้นะเพราะแต่ก่อนผมทำเรื่องบ้าๆไว้เยอะมาก (เดี๋ยวนี้ก็ยังทำอยู่ แต่กำลังพยายามจะเลิกแล้วครับ) เลยไม่ค่อยอยากพูดถึงน่ะครับ :p เห็นด้วยกับคุณ nooonuii ครับว่ามีกรณีหนึ่งที่ a + b = 1 แต่ยังมีอีกกรณีหนึ่งที่ทำให้ได้ค่าของ a+b มากมายหลายค่าขึ้นกับค่า x ดังนี้ครับ

ถ้า \(x\ne n\pi/4,\,n\in\mathbb Z\) และ \(y=\pi/2-x\) จะทำให้สมการ 1 และ 2 กลายเป็นสมการเดียวกัน และจากสมการ 3 เราจะได้ว่า \(\alpha=\beta\tan^2x\ne\beta\) แทนค่า a ในสมการ 1 แล้วแก้สมการจะได้\[\alpha=
\frac{\sin^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\beta=
\frac{\cos^2x}{\sin^4x+\cos^4x}\]\[\alpha+\beta=
\frac{1}{\sin^4x+\cos^4x}=\frac{4}{3+\cos4x}\]สรุปว่าในกรณีนี้ \(1<\alpha+\beta<2\)

ผิดถูกยังไงช่วยท้วงติงด้วยนะครับ

ผมไปคิดใหม่ได้เหมือนของคุณ warut เลยครับ แต่ไม่รู้จะตอบอะไร

อืม...ถ้างั้นโจทย์อาจจะมีข้อผิดพลาดจริงๆซะแล้วล่ะครับ

อ๊ะใช่คุณ warut จริงๆด้วย :D ว่าแต่ทำไมจะเลิกซะล่ะครับ ดีออก ผมว่าจะทำเหมือนกันแต่ไม่มีเวลาละ ขอเอาตัวเองให้รอดก่อนเหอเหอ :)

อ้อคุณ Warut ได้สิทธิ์ถามข้อต่อไปนะครับ