Number
 

1 จงหา $n \in \mathbb{N}$ ทั้งหมดซึ่ง $4^n+n^4$ เป็นจำนวนเฉพาะ

2. Show that for every prime $p \ge 5, \exists n \in \mathbb{N}, 2^n+3^n+6^n-1 \equiv 0 \ (mod \ p)$

3. จงพิสูจน์ผลคูณจำนวนเต็มบวก 8 ตัวเรียงติดกันไม่เป็นกำลังสี่สมบูรณ์

4. (TMO 2549) จงแสดงว่ามีจำนวนนับ m และ n ซึ่ง $gcd(m,n) = 1$ และ
$2549 \mid (25 \bullet 49)^m+25^n-2\bullet 49^n$

1. N=1. ใช้กำลังสองสมบูรณ์เเละภาวะคู่คี่ครับ

ข้อสองจริงๆครอบคลุมทุกจำนวนเฉพาะ $p$ เลย โดยแยกกรณี $p=2,3$ ไว้ก่อน

ส่วนที่เหลือเลือก $n=p-2$ (ลองนึกวิธีพิสูจน์ให้ได้ครับ โดยใช้ประโยขน์จากที่จำนวนเฉพาะ $p \ge 5$)

ขอบคุณมากครับ เหลือข้อ 3,4

Hint : พิสูจน์ว่า

$(n^2+7n+6)^4<(n^2+7n)(n^2+7n+6)(n^2+7n+10)(n^2+7n+12)<(n^2+7n+7)^4$

ถ้าคุณสงสัยว่า โจทย์โอลิมปิกมันงัดเอาไอเดียสวยๆมาได้ยังไง ลองอ่านที่ผมเขียนไว้ทุกบรรทัด อย่าข้าม เพราะมันคือสิ่งที่ process อยู่ในหัวของเรา มีคำหยาบหน่อยนะครับ

1.ถ้า $n=1$ ชัดเจนว่า $n^4+4^n$ เป็นจำนวนเฉพาะ จากนี้ไปสมมติว่า $n>1$ ถ้า $n$ เป็นเลขคู่ $n=2k$ ชัดเจนว่า $n^4+4^n$ มี 2 เป็นตัวประกอบ ซึ่งใช้ไม่ได้ ดังนั้น $n$ ต้องเป็นเลขคี่
2.เมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ $n=2k+1$ แทนลงไป $n^4+4^n=(2k+1)^4+4^{2k+1}$ แล้วใช้เอกลักษณ์ Sophie Germain $x^4+4y^4=((x+y)^2+y^2)((x-y)^2+y^2)$
3.เมื่อมันเป็นจำนวนเต็ม 2 จำนวนคูณกันและต้องเป็นจำนวนเฉพาะ บังคับว่าตัวนึงต้องเป็นจำนวนเฉพาะอีกตัวต้องเป็น 1 ก็สรุปได้ว่ามี $n=1$ ค่าเดียว หึ้ย ออกแล้วนิหว่า :D


1."เริ่ม" เชคจาก $p=2,3,5$ ก่อนครับ ถ้า $p=2$ มี $n=0$ สอดคล้อง ถ้า $p=5$ มี $n=3$ สอดคล้อง มันต่างกันอยู่ 2 ดังนั้นเดาว่า $n=p-2$
2.เมื่อ $n=p-2$ ก็กลายเป็นต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $p\mid a_{p-2}$ เมื่อ $a_{n}=2^n+3^n+6^n-1$
3.โยงไปกับความรู้ที่มีในหัว คล้ายๆ FLT นี่หว่า
เพราะงั้นเรามี
$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
$3^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
$6^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ เมื่อ $(p,6)=1$
แต่มันให้พิสูจน์ $p\mid 2^{p-2}+3^{p-2}+6^{p-2}-1$
2 คูณ 3 ได้ 6 นิหว่า เอา 6 คูณแม่ง $6a_{p-2}=3\cdot 2^{p-1}+2\cdot 3^{p-1}+6^{p-1}-1$ หึ้ย FLT นี่หว่า :D


1.ห๊ะ 8 ตัวคูณติดกันเหรอวะ มันน่าจะเป็น n,n+1,n+2,...,n+7 มั้ง
2.$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)$ หึ้ย 3+4=2+5=6+1=7+0 นี่หว่า
3.$(n^2+7n)(n^2+7n+6)(n^2+7n+10)(n^2+7n+12)$ อะไรวะเนี่ย เก็บไว้ก่อนดีกว่า
4. 8 ตัวติดกันกำลัง 4 สมบูรณ์เหรอวะ เอาง่ายๆก่อนดีกว่า 2 ตัวติดกันจะเป็นกำลังอะไรสักอย่างสมบูรณ์ป่าววะ
เออ... 1 กับ 9 มี 4 คั่นกลางนี่หว่า แต่ 1 กับ 4 ไม่มีตัวคั่นกลาง ทำไมวะ... อ๋อ $1^2$ กับ $2^2$ มันมี 1 กับ 2 ติดกันนิหว่า หึ้ย อย่างนี้ก็ไม่มีกำลังสองสมบูรณ์ระหว่างกำลังสองสมบูรณ์สองจำนวนที่ติดกันนี่หว่า
5.เห้ย งั้นไอก้อนๆนั้นมันต้องอยู่ระหว่างกำลังสี่สองตัวที่ติดกันดิ เห้ย ออกแล้ว... เดี๋ยวๆยังไม่ทันได้พิสูจน์เลย :D


1.ทำไมต้องเป็น 2549 วะ เอออ... เห้ย 2549 นี่มันจำนวนเฉพาะนี่หว่า
2.หึ้ย ออยเลอร์นี่หว่า $a^{\phi(2549)} \equiv 1 \pmod{2549}$ ทุกจำนวนเต็ม $a$ ที่ $(a,2549)=1$ มันทำไรได้วะ... ให้ $\phi(2549)=s$ ก่อนดีกว่า
3.ทำไมต้องเป็น 25 กับ 49 ด้วยวะ... อ๋ออ $(25,2549)=(49,2549)=1$ นี่หว่า เดี๋ยวๆ เพราะงั้น $(25\cdot 49,2549)=1$ ด้วยนิหว่า เห้ยยย บังเอิญป่าววะ
4. ไม่บังเอิญแล้วหละ $25^s \equiv 49^s \equiv 1 \pmod{2549}$ นี่หว่า ทำไงต่อดี...
5.มันให้พิสูจน์ว่าไรนะ $2549 \mid (25\cdot 49)^m+25^n-2\cdot 49^n$ เอ.. เห้ย มันมี $25\cdot 49 $ นี่หว่า
6. ถ้า $2549\mid \triangle ((25\cdot 49)^m+25^n-2\cdot 49^n)$ สรุปแบบนี้ได้ต้อง $(\triangle,2549)=1$ ถึงจะสรุปได้ว่า $2549\mid (25\cdot 49)^m+25^n-2\cdot 49^n$ ไอก้อนสามเหลี่ยมควรเป็นอะไรวะ ถึงจะใช้ไอเดียนี้ได้
7.อ๋ออออ ก็เลือกให้ $\triangle=25\cdot 49$ เลยดิ มันเป็นตัวที่ปรากฏใน $(25\cdot 49)^m+25^n-2\cdot 49^n$ แล้วก็ $(25\cdot 49,2549)=1$ ด้วยอ่ะ จะลงล๊อกเกินไปและ :o
8.เห้ย แต่มันให้พิสูจน์มี m,n ที่ 2549 หารลงตัวนี่หว่า ทำไงอ่ะ อ๋ออ จับ $25\cdot 49$ คูณเข้าไปแม่งเลย แล้วค่อยเลือก (m,n)=() อะไรซักอย่างในตัวแปร s ทีหลัง
9.ไหนดูดิ๊ $25\cdot 49((25\cdot 49)^m+25^n-2\cdot 49^n)=(25\cdot 49)^{m+1}+49\cdot 25^{n+1}-2\cdot 25 \cdot 49^{n+1}$ อ้อ หน้าตาเป็นงี้นี่เอง
10.ต้องเลือก $m,n$ ยังไงวะ ให้สอดคล้องกับที่เรามี $(25\cdot 49)^s \equiv 25^s \equiv 49^s \equiv 1 \pmod{2549}$ โดยที่ หรม. มันต้องเป็น 1 ด้วยนะ
11.ให้ $m+1=s$ ก่อนดีกว่าง่ายดี ได้ $s=m-1$ ละ ต่อไปก็เป็น $n$ ละ ทำไงดี
ไหนดูดิ๊ $(25\cdot 49)^{m+1}+49\cdot 25^{n+1}-2\cdot 25 \cdot 49^{n+1}=(25\cdot 49)^{s}+49\cdot 25^{n+1}-2\cdot 25 \cdot 49^{n+1}$
ก็เลือกให้ n+1=s เหมือนกันเลยดิ สอดคล้องสิ่งที่เรามีด้วยนะ เดี๋ยวๆ!! ไม่ได้ๆ หรม.ไม่ใช่ 1 ทำไงดีอ่ะ เอออ..... แทนที่จะเป็น $s$ งั้นเอาเป็น $2s$ ละกัน OK ให้ $n+1=2s$ ได้เป็น $n=2s-1$ ไหนลองเชคดูดิ๊หรม.แม่งเป็น 1 รึเปล่า
12. $(m,n)=(s-1,2s-1)=(s-1,s)=1$ ได้นี่หว่า!! หึ้ย ออกแล้วนี่หว่า :D
13.เขียนบทพิสูจน์ให้อาจารย์... ทันป่าววะ! :haha:
14.เดี๋ยวๆๆ ไม่เชคก่อนเหรอวะ หารลงตัวจริงรึเปล่า .....$\equiv 1+49-2\cdot 25=0 \pmod{2549}$ เห้ยยย ได้!!!

ผมแถมให้ http://www.youtube.com/watch?v=dQw4w9WgXcQ อันนี้เป็น Video สอนตีโจทย์โอลิมปิกครับ เขาสอนว่าเราต้องโดนหลอกมากๆก่อน ทำโจทย์เยอะๆ ก่อน ถึงจะเก่งได้ :o

Commentary
1.เป็นสอวน.แบบฝึกเก่าๆหน่อย
2.เป็นโจทย์ตัดตอนจาก IMO2005 ข้อ 4 ซึ่งจริงๆแล้วเป็น กำหนดให้ $a_{n}=2^n+3^n+6^n-1$ เมื่อ $n\geq 1$ จงหาจำนวนเต็มบวกที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $a_{n}$ ทุกค่า $n\geq 1$ โจทย์ตัดตอนมาแค่เท่าที่เห็น
3.ต่อยอดมาจากเอกลักษณ์ $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$ เป็นโจทย์โอลิมปิกของฮังการี 1966 จงพิสูจน์ว่า ผลคูณจำนวนเต็มบวก 3 จำนวนเรียงกัน ไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
4.เสกมาจากทบ.ทางทฤษฎีจำนวนมั้งนะ อันนี้ผมก็ไม่รู้ :laugh:

#6,7สุดยอดมากครับ

ขอบคุณทุกๆคำตอบมากครับ แต่ #6 ไม่ต้องเขียนถึงขนาดนั้นก็ได้ครับ :great::great:

ชุดผลคูณตัวเลข 8 ตัวเรียงน่าสนใจครับ ไม่เป็นกำลังสี่สมบูรณ์ ผมไม่เคยเจอในเท็กซ์บุ๊ค แต่คุ้นๆ อยู่เหมือนกัน อาจจะมีข้อยกเว้นนะครับ ส่วนถ้าอยากให้เป็นตามโจทย์คงต้องกำหนดสภาวะจำเพาะ เช่น การตีกรอบให้จำกัด โดยให้เสียนัยทั่วไปน้อยที่สุด