ข้อสอบสอวน.ศูนย์หาดใหญ่ปี 2553
 

จงแสดงวิธีทำทุกข้อ ข้อละ 5 คะแนน
1.จงหาจำนวนคำตอบของสมการ
$$||||||||||x|-1|-1|-1|-1|-1|-1|-1|-1|-1|=\dfrac{1}{2}$$

2.นักวิ่งสองคนวิ่งรอบสนามด้วยความเร็ว $10 km/hr$ และ $8 km/hr$ โดยการวิ่ง $1$ รอบเป็นระยะทาง $400$ เมตร
จงหาว่าเมื่อเวลาผ่านไปเท่าใดนักวิ่งทั้งสองจะตามกันทัน

3.จงหาจำนวนจริง $x$ ทั้งหมด ซึ่งทำให้ $\dfrac{8x+36}{2+x}$ เป็นจำนวนเต็ม

4.กำหนดให้ $x^6=1$ โดยที่ $x\not= \pm1$ จงหาค่าของ $x^2+\dfrac{1}{x^2}$

5.จงหาค่าของจำนวนจริง $A$ ทั้งหมดที่ทำให้เซตคำตอบของอสมการ $\dfrac{x^2-5x+6}{x-A}\geqslant 0$ เป็นช่วงเดียวที่ต่อเนื่อง
ุ
6.กำหนดให้ $x=0.2553$ โดยที่ $a=x^x$ , $b=x^{x^x}$ และ $c=x^{x^{x^x}}$ จงเรียงลำดับ $a,b$ และ $c$
ึ
7.กำหนดให้การเขียน $n$ ในรูปฐาน $11$ และ $13$ คือ $(xyz)_{11}$ และ $(zyx)_{13}$ ตามลำดับ นั่นคือ $(xyz)_{11}=(zyx)_{13}=n$ จงหาค่าของ $n$ ในรูปฐาน $10$

8.จงหาค่าของ $A$ ทั้งหมดที่ทำให้พาราโบลา $y=Ax^2$ ตัดกับวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด $(0,1)$ และมีรัศมียาว $1$ หน่วย ทั้งหมด $3$ จุด

9.จงเขียน $\sqrt{12-2\sqrt{12+2\sqrt{12-2\sqrt{12+...}}}}$ ในรูปของเศษส่วนที่มีตัวเศษและตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม

10.เด็กกลุ่มหนึ่งจำนวน 75 คนเข้าไปในสวนสนุกแห่งหนึ่งซึ่งมีเครื่องเล่น 3 ชนิดคือ A, B และ C โดยมีจำนวนเด็กที่เล่นเครื่องเล่นครบ 3 ชนิดจำนวน 20 คน
และมีเด็กที่เล่นเครื่องเล่นอย่างน้อยที่สุด 2 ชนิดจำนวน 55 คน ถ้าอัตราการเล่นเครื่องเล่นต่อครั้งเท่ากับ 50 สตางค์ ถ้าเจ้าของสวนสนุกได้รับเงินจากเด็กๆ จำนวน 70 บาท
จงหาจำนวนของเด็กที่ไม่ได้เล่นเครื่องเล่นใดเลย

11.กำหนดให้ $P(x)=x^2-(2a+1)x^2-(b+5)x+9=0$ และ $Q(x)=x^2-(b+5)x+9$
โดยที่ $b$ เป็นจำนวนจริงลบ และ $x+1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ และ $Q(x)$ มีผลเฉลยเดียว จงหาค่าของ $a$

12.กำหนดให้ $a,b$ และ $c$ เป็นคงที่ ซึ่งเป็นจำนวนจริง โดย $a<b<c$ จงเซตคำตอบของอสมการ
$$|x-a|+|x-b|<x-c$$

13.กำหนดให้ $\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{b+c}{3}=\dfrac{c+a}{4}$ จงหาค่าของ $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

14.จงหาจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีค่าระหว่าง 0-500 ที่มีสมบัติต่อไปนี้
I) มีสมบัติเป็น Perfect square (สามารถเขียนในรูปของกำลังสองได้)
II) มีสมบัติเป็นผลรวมของจำนวนเต็มสามจำนวนเรียงติดกัน

15.กำหนดให้พาราโบลา $y=ax^2+bx+c$ ตัดแกน X ที่จุด $x=r$ และ $x=s$
จงหาพาราโบลาทั้งหมดที่ตัดแกน X ที่จุด $x=\dfrac{1}{r}$ และ $x=\dfrac{1}{s}$

ปล.มีอีกข้อเป็นรูปขี้เกียจทำรูป พอดีไม่ค่อยว่างครับ ทั้งหมดมี 19 ข้อนะครับเหลือเรขา 2 ข้อ กับเซตอีกข้อที่จำไม่ได้

พี่เนสครับ คือแสดงวิธีทำ ใช่ไหมครับไม่ได้เขียนคำตอบ

ข้อแรกตอบ
$\pm\frac{19}{2}$ ป่าวครับ:please:

ไม่ใช่ครับเพราะคำถามจงหาจำนวนคำตอบของสมการ

อ้อ งั้น มี 2 คำตอบใช่มั้ยครับ:kaka:
ถ้าไปสอบจริงเดี้ยงตั้งกะข้อแรกเลย:p

มีมากกว่านั้นครับ

อ้อลืมอีกแล้ว มี $\pm\frac{17}{2}$ อีก
สรุป ตอบ4 คำตอบครับ

มีมากกว่านั้นครับ

สุดท้ายแล้วครับ
มี 20คำตอบครับ
ขอบคุณคุณหยินหยางครับ แหม สอวน เนี่ยไม่ง่ายเลยนะครับ
ผมพึ่งทดลองทำจริงๆจังๆครั้งแรกดูท่าจะไม่ไหวครับ:haha::please:

1. ข้อนี้เป็นโจทย์ combinatorics นะ

ใช้หลักการของ transformation ของกราฟค่าสัมบูรณ์

เริ่มจากกราฟของ $|x|$ จะเป็นรูป \/ กราฟนี้ตัดกับเส้นตรง $y=\dfrac{1}{2}$ จำนวน $2$ ครั้ง

กราฟของ $||x|-1|$ จะเป็นรูป \/\/ กราฟนี้ตัดกับเส้นตรง $y=\dfrac{1}{2}$ จำนวน $4$ ครั้ง

กราฟของ $|||x|-1|-1|$ จะเป็นรูป \/\/\/ กราฟนี้ตัดกับเส้นตรง $y=\dfrac{1}{2}$ จำนวน $6$ ครั้ง

จะเห็นว่าจำนวนจุดตัดจะเป็นสองเท่าของจำนวนครั้งที่เราใส่ค่าสัมบูรณ์ในสมการ

สมการในโจทย์มีการใส่ค่าสัมบูรณ์ $10$ ครั้ง จึงมีจำนวนคำตอบทั้งสิ้น $20$ คำตอบ

แล้วถ้าโจทย์เปลี่ยนเป็น เท่ากับ 1 ไม่ใช่ เท่ากับ 1/2 คิดว่าจะมีกี่คำตอบละ :happy:

โจทย์ลักษณะนี้ถ้าจำไม่ผิดเคยออกในสมาคม และ สอวน.ศูนย์สวนกุหลาบมาแล้ว ทิ้งคำถามให้ทำเล่นก่อนไปนอนครับ:):)

11 รึป่าวครับ

$x^6-1 = 0$
$(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$
$x^2(x+1+\frac{1}{x})(x-1+\frac{1}{x})=0$
$(x+\frac{1}{x})^2-1=0$
$x^2+\frac{1}{x^2}=-1$

ยังไงก็ขอบคุณ คุณne[s]za ที่แจกแนวข้อสอบครับ
ว่าแล้วก็ทำซะหน่อย
ข้อ13.ครับ
ให้ $\frac{a+b}{2} =\frac{b+c}{3} =\frac{a+c}{4} =k$
จะได้$ a+b=2k , b+c=3k , a+c = 4k$
รวมสมการได้ $2a+2b+2c = 9k $
$a+b+c = 4.5k$
$a=1.5k , b= 0.5k , c= 2.5k$
$\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} =\frac{73}{15}$

จากโจทย์ "จะตามกันทัน" แปลว่า วิ่งทางเดียวกัน

$10km/hr = \frac{1000}{6}$ เมตรต่อนาที

$8km/hr = \frac{800}{6}$ เมตรต่อนาที

ทุกๆหนึ่งนาที คนวิ่งเร็วจะทิ้งห่างคนวิ่งช้า $ \frac{1000}{6} - \frac{800}{6} = \frac{200}{6}$

ตามทัน = น็อครอบ

ดังนั้น 400 เมตร ใช้เวลา $\dfrac{400}{\frac{100}{6}} = 24 \ $นาที


ดังนั้น 400 เมตร ใช้เวลา $\dfrac{400}{\frac{200}{6}} = 12 \ $นาที
(12 นาที คนวิ่งเร็ว วิ่งได้ 5 รอบ คนวิ่งช้า วิ่งได้ 4 รอบ)