ช่วยที่ครับโจทย์แนวโอลิมปิก
 

1.ให้ $ x , y $ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ
$ 4x^2 + 4y^2 + 4x + 4y + 2 = 0 $
จงหาค่าของ $ 5(2x^2 + 4y^2 + 2x + 4y + 3) $

2. ให้ $ x $ เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ $ x^2 - 4x + 1 = 0 $
จงหาค่าของ $\frac{x^{10} + 1}{x^5}$

3. กำหนด
$ x + y + \sqrt{x+y} = 56 $
$ x - y - \sqrt{x-y} = 42 $
จงหาค่าของ $19xy\sqrt{x^2-y^2}$

4. กำหนด $x$ เป็นจำนวนจริง และ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ทำให้
$\sqrt{a-x} \sqrt{a+x} = a $ จงหาผลคูนของค่า $a$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

5.นางสาว บัญชา วางแผนว่าจะสอบก่อนเรียนให้ได้ 0 คะแนน
ถ้าข้อสอบเป็นแบบปรนัย 4 ตัวเลือกจำนวน 10 ข้อ
จำนวนวิธีที่จะทำข้อสอบให้ได้ 0 คะแนน คือ $m^n$ จงหา $ m + n $

6.มีนักเรียนอยู่ 5 คน หนึ่งในนั้นมี นางสาวบัญชา ทั้ง 5 คนวางแผนจะฆ่า นายโรคภัย โดยมีอาวุธให้สังหาร 5 ชิ้นคือ
ตุ๊กตาหมี ปลาทูเค็ม ขันน้ำรั่ว ขนมโคอาล่ามาร์ช ขนตาปลอม ซึ่งแต่ละคนจะนำอาวุธไปทำร้าย นายโรคภัย แล้วก็นำอาวุธที่ใช้แล้วไปทำลาย โดยที่คนทำร้าย นายโรคภัย คนสุดท้ายจะเป็นผู้ที่ฆ่า นายโรคภัย จงหาจำนวนวิธีที่ นางสาวบัญชา เป็นคนฆ่า นายโรคภัยโดยใช้ ปลาทูเค็ม

7. เมื่อ เบจิตา บุกโลก โงกุนจึงเข้ามาขัดขวาง ทั้งสองต่อสู้กันดุดเดือดในที่สุด โงกุนจึงต้องใช้ บอลเก็งกิ ขว้างใส่เบจิต้าแต่ไม่ตายเพราะแรงกระทบน้อยไป ตามตำรากล่าวว่า บอลเก็งกิเป็นก้อนทรงกลมเกิดจากการรวมตัวของพลังงานจนมีความหนาแน่นถึง $7500 kg/m^3$ ถ้าในตอนนั้นโงกุนขว้างบอลเก็งกิใส่เบจิต้าด้วยความเร่ง $30 m/s^2 $ และ เบจิต้าทนแรงได้ $300\pi$ นิวตัน จงหาว่า โงกุนต้องสร้างบอลเก็งกิ มีรัศมีอย่างน้อยเท่าใด จึงจะฆ่าเบจิต้าได้
( F=ma เมื่อ F คือแรง m คือมวล a คือความเร่ง)

:please:

ข้อนี้ใช้แนวคิดที่สำคัญหนึ่งคือ $A^2 + B^2 = 0$ ก็ต่อเมื่อ $A = 0$ และ $B = 0$

โจทย์ที่ให้มา ถ้านำ 4 หารตลอด แล้วจัดรูป จะได้เป็น $(x+\frac{1}{2})^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = 0$ แสดงว่า $x+\frac{1}{2} = 0$ และ $y+\frac{1}{2} = 0$

ถ้าสนใจแนวคิดทำนองนี้ ก็ลองจัดรูปสมการนี้ดูครับ $5x^2 - 4xy + y^2 +10x - 6y + 10 = 0$

จัดรูปได้ $ (2x-y+3)^2 + (x-1)^2 = 0 $ ใช่ไหมครับ
ขอบคุณมากๆๆครับ ไม่เคยคิดถึงสมบัติอะไรแบบนี้เลย

ลองตรวจสอบดูครับ :rolleyes: กดเพื่อตรวจสอบ

$\sqrt{x+y}=A,A>0 $ จะได้ว่า $A^2=x+y$
$\sqrt{x-y}=B,B>0 $ จะได้ว่า $B^2=x-y$
$A^2+A-56=0 \rightarrow (A-7)(A+8)=0 \rightarrow A=7$
$B^2-B-42=0 \rightarrow (B-7)(B+6)=0 \rightarrow B=7$
$x+y=49$
$x-y=49$
$x=49,y=0$
$19xy\sqrt{x^2-y^2}=0$

พี่ครับ ใช้สมบัติ อะไรเหรอครับ ถ้าเป็น Integrate ผมยังไม่ถึงนะครับ

ผมมองตั้งหลายรอบ ผมยังมึนอยู่เลยครับ ว่ามันจัดออกมาเป็นแบบนี้ได้ไง

ช่วยอธิบายให้กระจ่างทีครับขอบคุณครับ ::wacko:

$5x^2 - 4xy + y^2 +10x - 6y + 10 = 0$
ผมมองว่ามีพจน์ $x^2,y^2,xy,x,y,10$ ซึ่งเกิดได้จาก $(ax+by+c)^2$
กระจายแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ คือ $a^2x^2+b^2y^2+c^2+2abxy+2acx+2bcy$
$c^2$ เป็นกำลังสองที่น้อยกว่า $10$ มีได้คือ $1,4,9$
$b$ เท่ากับ $1,-1$
$a^2$ เป็นกำลังสองได้คือ $1,4$ ได้ว่า $a=\pm 1,\pm 2$
แทนกลับไปตรงสัมประสิทธิ์ของ $x,y,xy$
$bc=-3\rightarrow c=3,-3$
$2ab=-4\rightarrow ab=-2\rightarrow a=\pm 2,b=\mp 1$
$2ac=10 \rightarrow ac=10$ ซึ่งสร้างไม่ได้จากขอบเขตค่าที่หาได้ เหลือแค่ $ac=6$
จะได้ชุดค่าเป็น $(2,-1,3)$
$(2x-y+3)^2=4x^2+y^2+9-4xy+12x-6y$
จะเหลือพจน์อีก $x^2-2x+1$
เราจะจัดได้เป็น $(2x-y+3)^2+(x-1)^2$