ข้อสอบ 6th TUMSO 2550
 

การแข่งขัน TUMSO (Triam Udom Suksa Interschool Mathematics and Scientific Olympiad) เป็นการแข่งขันคณิตศาสตร์ระหว่างโรงเรียน ปีนี้ (2550) จัดขึ้นเป็นครั้งที่ 6 เมื่อวันอังคารที่ 4 ธันวาคม 2550 โรงเรียนที่ได้อันดับ 1-2-3 ได้แก่ สวนกุหลาบวิทยาลัย กรุงเทพคริสเตียน และราชวินิตบางแก้วตามลำดับ

ในที่นี้จะนำข้อสอบมาให้ดูกันนะครับ เริ่มจากรอบแรกก่อน

1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) ลำดับอนันต์ที่นิยามโดย $a_n=(-1)^{n+1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก เป็น
ลำดับแกว่งกวัด
(ข) ให้ $O$ เป็นจุดกำเนิด กำหนดจุด $P(a_1,a_2,a_3)$ และกำหนด $A,B,C$ เป็นมุมที่
วัดจากแกนพิกัดด้านบวกทั้งสามตามลำดับไปยัง $\overrightarrow{OP}$ จะเรียก $\cos A,\cos B,\cos C$
ว่า โคไซน์แสดงทิศทางของ $\overrightarrow{OP}$
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. (ก) และ (ข) ถูก ข. (ก) และ (ข) ผิด
ค. (ก) ถูกแต่ (ข) ผิด ง. (ก) ผิดแต่ (ข) ถูก

2. ค่าของ $\tan(\frac{3\pi}{11})+4\sin(\frac{2\pi}{11})$ อยู่ในช่วงใดต่อไปนี้
ก. $(2,3)$ ข. $(3,4)$ ค. $(4,5)$ ง. $(5,6)$

3. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $\log ab\geq 2\sqrt{\log a\log b}$สำหรับทุกๆจำนวนจริงบวก $a,b$ ซึ่ง $a\neq 1,b\neq 1,ab\neq 1$
(ข) $2^{100}$ เมื่อเขียนในฐานสิบ จะเป็นเลข $31$ หลัก (กำหนดให้ $0.301<\log 2<0.302$ )
ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. (ก) และ (ข) ถูก ข. (ก) และ (ข) ผิด
ค. (ก) ถูกแต่ (ข) ผิด ง. (ก) ผิดแต่ (ข) ถูก

4. ให้ $A=\{x|x\in Z^+, 2^{3x}+5(2^{x+2})=11(2^{2x}-32\}$
และ $B=\{y|y\in A, y>2\}$
ความสัมพันธ์จาก $A$ ไป $B$ มีทั้งหมดกี่ความสัมพันธ์
ก. $1$ ข. $2$ ค. $3$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

5. ให้ $A=\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ โดยที่ $e_1,e_2,e_3,e_4$ เป็นจุด $4$ จุดที่แตกต่างกันบนระนาบหนึ่ง กราฟ $G$ มีเซตของจุดยอดเป็นสับเซตของ $A$ และกราฟ $G$ เป็นต้นไม้ จงหาว่ามีกราฟ $G$ ที่แตกต่างกันกี่กราฟที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว
ก. $31$ ข. $35$ ค. $38$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

6. ให้ $\theta$ เป็นจำนวนจริง ซึ่ง $\csc \theta + \cot \theta = \frac{5}{3}$ จงหาค่า $\cos \theta + \tan \theta$
ก. $\frac{319}{136}$ ข. $\frac{355}{136}$
ค. $\frac{363}{136}$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

7. เมื่อพิจารณาตารางค่าความจริงของประพจน์ $[(p\rightarrow q)\vee (r\wedge s)]\leftrightarrow [t\rightarrow (u\cup p)]$
จะมีกี่บรรทัดที่เป็นจริง
ก. $36$ ข. $40$ ค. $44$ ง. ข้อ ก. ข. และ ค. ผิด

ข้อ 2. ตอบ ข.
ข้อ 3. ตอบ ง.
ข้อ 4. ตอบ ง.
ข้อ 6. ตอบ ก.

ครับ คำตอบของคุณหยินหยางถูกต้องทั้งหมดนะครับ เก่งจริงๆ แสดงวิธีคิดสักนิดก็ดีนะครับ เผื่อคนอื่นมาดู

ลองทำข้อที่เหลือก็ได้นะครับ แล้ววันหลังว่างๆผมอาจจะเอาส่วนที่เหลือมาลง

มาตอบข้อที่เหลือก่อน
ข้อที่1 ตอบ ก คือ ก. และ ข. ถูก
ข้อที่5. น่าจะตอบข้อ ง. ถ้าเข้าใจไม่ผิด คำตอบคือ 42 (เรื่องกราฟไม่ค่อยแน่ใจ)
ข้อที่7. $[(p\rightarrow q)\vee (r\wedge s)]\leftrightarrow [t\rightarrow (u$ $\cup$ $p)]$
ตรงสีแดงหมายถึง "หรือ" $(\vee )$ ใช่หรือเปล่าครับ

ส่วนแนวคิดถ้าว่างจะมาลงให้ครับ เพราะผมไม่ถนัดในการพิมพ์

ข้อ6.
หาครน.แล้วย้ายข้างแก้สมการจะได้ว่า
sinx=0 , sinx=15/17 หา cos,tan ได้แล้ว

ข้อ 5 ตอบ ค. ไม่ใช่เหรอครับ?

ขอเพิ่มเติมจากคุณ ZiLnIcE ไม่จำเป็นต้องหา ครน.ก็ได้ครับ ลองใช้ คอนจูเกตในตรีโกณดูสิ (ประโยชน์จากโคฟังก์ชั่น)
$cosec\theta + cot\theta = \frac{3}{5}$
$( cosec\theta + cot\theta)\frac{cosec\theta - cot\theta}{cosec\theta - cot\theta} = \frac{3}{5}$
$\frac{cosec^2\theta - cot^2\theta}{cosec\theta - cot\theta} =\frac{3}{5}$
$\frac{1}{cosec\theta - cot\theta} = \frac{3}{5}$
$cosec\theta - cot\theta = \frac{5}{3}$
ที่เหลือก็ต่อยอดครับ