โจทย์แนวสมาคมคณิต
 

ถ้า$\frac{a_1}{b_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{a_3}{b_3}=\frac{b_4}{a_4}=...=\frac{a_{2555}}{b_{2555}}=k$

และ $(b_2+b_4+b_6+...+b_{2554})=(\frac{k}{1-k})(b_1+b_2+b_3+...+b_{2555})$ แล้ว

จงหาค่าของ $\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{2555}}{b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}}$

และหาค่าของkที่เป็นไปได้

$a_1+a_3+..+a_{2555}=k(b_1+b_3+...+b_{2555})$
$a_2+a_4+...+a_{2554}=\frac{1}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554}) $


$a_2+a_4+...+a_{2554}=\frac{1}{1-k}(b_1+b_2+...+b_{2555})$

$(1-k)(b_2+b_4+...+b_{2554})=(a_1+a_3+..+a_{2555})+k(b_2+b_4+...+b_{2554})$
$a_1+a_3+..+a_{2555}=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$
$a_1+a_3+..+a_{2555}=\frac{k(1-2k)}{1-k}(b_1+b_2+...+b_{2555}) $

$a_1+a_2+a_3+a_4+..+a_{2555}=\left(\,\frac{1}{1-k}+\frac{k(1-2k)}{1-k}\right)(b_1+b_2+...+b_{2555}) $

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+..+a_{2555}}{b_1+b_2+...+b_{2555}}=\frac{1+k-2k^2}{1-k}=1+2k$

$k(b_1+b_3+...+b_{2555})+\frac{1}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})=(1+2k)(b_1+b_2+...+b_{2555})$
$(1+k)(b_1+b_3+...+b_{2555})=(\frac{1}{k}-(1+2k))(b_2+b_4+...+b_{2554})$

$b_1+b_3+...+b_{2555}=(\frac{1-k-2k^2}{k(1+k)})(b_2+b_4+...+b_{2554})$

$b_1+b_3+...+b_{2555}=(\frac{1-2k}{k})(b_2+b_4+...+b_{2554})$

$k(b_1+b_3+...+b_{2555})=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$

$a_1+a_3+..+a_{2555}=(1-2k)(b_2+b_4+...+b_{2554})$

มึนแล้ว พรุ่งนี้ค่อยเข้ามาคิดต่อ

ผมไม่แน่ใจนะครับว่าข้อนี้จะหาค่า k ออกมาได้ :confused:

ใครช่วยหาค่า k หน่อยครับ

เเสดงว่า $a_1=k(b_1)$ เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...a_{2555}\div b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}=k$ใช้หรือเปล่าครับ:eek:

#5 ดู $a_2$ ที่โจทย์ดีๆครับ

หาช่วงของ k ได้ดังนี้ครับ

จาก $b_1+b_3+b_5...+b_{2555} = \dfrac{1-2k}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})$

แทนค่า $b_1=b_3=b_5=...=b_{2555}=\dfrac{1-2k}{1273}$
$b_2=b_4=...=\dfrac{k}{1272}$
ส่วนค่า a ก็แปรตาม b อยู่แล้ว

ในการแทนค่าครั้งนี้ก็ครอบคลุมว่าทุก k ยกเว้น 1, $-\frac{1}{2}$ ว่าสามารถทำให้เงื่อนไขเป็นจริงได้
กรณี $-\frac{1}{2}$ ถ้าแทนค่าอย่างอื่นก็ได้อยู่

จึงเหลือเพียง k = 1 ที่ไม่จริง จึงตอบดังนี้ครับ
$k \in \mathbb{R}$ \ $\left\{1\,\right\} $

ตัวสีแดงส่วนผิดรึเปล่าครับ ส่วนสีน้ำเงินงงว่าทำไมใช้ได้ครับ ช่วยขยายความให้เข้าใจได้มั๊ยครับ

ที่ยกเว้น 1ตัวเดียว ก็คงเป็นเพราะ

โจทย์กำหนด $b_2+b_4+b_6+...+b_{2554}=\frac{k}{1-k}(b_1+b_2+b_3+...+b_{2555})$

ซึ่ง$k=1$ไม่ได้ เพราะจะทำให้ส่วนเป็น $0$ มั๊ง

:great::great:

ผมว่าคุณ#7เข้า ม.4 มหิดลได้แน่นอน

เอามาจากข้างบน ยังไม่ได้เช็คความถูกต้องเลยครับ ลองทำดูก่อน

$\dfrac{1-k}{k}(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_2+b_3+...+b_{2555}$
$(\dfrac{1-k}{k}-1)(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_3+b_5+...+b_{2555}$
$(\dfrac{1-2k}{k})(b_2+b_4+...+b_{2554})=b_1+b_3+b_5+...+b_{2555}$

ถูกแล้วครับ

เพิ่มอธิบายตรงนี้ด้วยครับ
ถ้า $k = -\frac{1}{2}$ จะทำให้ $b_1=b_3=...=b_{2555}=0$ ซึ่งไปทำให้อีกสมการส่วนเป็นศูนย์
อันนี้แค่เพียงต้องการให้ $b_1+b_3+...+b_{2555}$ เท่าเดิม จาก $k=-\frac{1}{2}$, $b_1+b_3+...+b_{2555}=0$

ซึ่งก็มีวิธีแทนค่าหลากหลายวิธีที่ไม่มี $b_i$ ใดๆเป็น 0

* #9 ผมไม่ได้สอบมหิดลครับ สอบ วมว.

$k\in R/\left\{\right.1\left.\right\}$

ผมคิดว่าเครื่องหมายที่ถูกต้องควรเป็น \ (setminus)รึเปล่า

ในนั้นมันใส่ \ ไม่ได้มันจะเขียนเป็น latex ครับ น่าจะแก้ได้อยู่ครับ