น่าดู
กำหนด $\triangle ABC$ มีด้านยาว $a,b,c$ และมี $r$ เป็นความยาวรัศมีวงกลมแนบในของสามเหลี่ยม.
ให้ $$P=\left(a+b+c\right)\left(\tan{\frac{A}{2}}+\tan{\frac{B}{2}}+\tan{\frac{C}{2}}\right)$$ จงแสดงว่า $$\frac{2}{729}P^{3}+2r^{3} \geq Pr^{2}$$ :great: ใช้ AM-GM |
ให้ $P=18p$ อสมการที่ต้องการพิสูจน์จะกลายเป็น
$$8p^{3}+r^{3} \geq 9pr^{2}$$ แต่เราใช้ weighted AM-GM ได้ว่า $$8p^{3}+r^{3} \geq 9p^{8/3}r^{1/3}$$ แต่สุดท้ายนี่สิครับ ผมไม่แน่ใจว่า $p \geq r$ รึเปล่า |
จริงครับคุณ JanFS
จากอสมการ Cauchy-Schwarz $P=(a+b+c)(tan\frac {A}{2}+tan\frac {B}{2}+tan\frac {C}{2})$ $=((b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c))(tan\frac {A}{2}+tan\frac {B}{2}+tan\frac {C}{2})$ $\geq (\sqrt {(b+c-a)tan \frac {A}{2}}+\sqrt {(c+a-b)tan \frac {B}{2}}+\sqrt {(a+b-c)tan \frac {C}{2}})^2$ $= (\sqrt {2r}+\sqrt {2r}+\sqrt {2r})^2$ $=18r$ ดังนั้น $p\geq r$ |
อ่า...
ดูท่า คุณ Spotanus ชอบเล่นคำผวนนะครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:25 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha