| NaPrai |
15 เมษายน 2019 20:41 |
เพื่อให้เขียนง่ายนะครับ สมมติให้ $a(x)=2\sqrt{1+x}-1$ และ $b(x)=2\sqrt{1-x}-1$
จุดหลัก ๆ ก็คือการใช้เอกลักษณ์นี้ครับ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
โดยพิจารณา \begin{align*}\lim_{x \to 0}\frac{f(1+x)-f(1-x)}{x} &= \lim_{x \to 0}\frac{(2\sqrt{1+x}-1)^3-(2\sqrt{1-x}-1)^3}{x} \\&= \lim_{x \to 0}\frac{(2\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})[a(x)^2+a(x)b(x)+b(x)^2]}{x} \\&=\lim_{x \to 0}\left[\frac{(2\sqrt{1+x}-2\sqrt{1-x})[a(x)^2+a(x)b(x)+b(x)^2]}{x} \times \frac{2\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}}{2\sqrt{1+x}+2\sqrt{1-x}}\right] \\&= \lim_{x \to 0}\frac{4[a(x)^2+a(x)b(x)+b(x)^2]}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \\&=6\end{align*}
|
