โจทย์เศษส่วน
 

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} Xมีค่าเท่าใด$

ข้อนี้ทำยังไงอ่ะครับ:please:

ข้อนี้ไม่ยากครับ ใช้หลักว่า
$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{n+1(n+2)} $

$X = \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{60} + ... + \frac{1}{1030200} $

$= \frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \frac{1}{3\times4\times5} + ... + \frac{1}{100\times101\times102} $

ซึ่งสามารถจัดรูปเป็นแบบพีชคณิตดังนี้

$\because \ \ \dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{(\frac{1}{2})}{k(k+1)} - \dfrac{(\frac{1}{2})}{(k+1)(k+2)}$

$\therefore \ \ \dfrac{2}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1}{k(k+1)} - \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}$



$\frac{2}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

$\frac{2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

$\frac{2}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5}$
.
.
.
$\frac{2}{101 \cdot 101 \cdot102} = \frac{1}{100 \cdot 101} - \frac{1}{101 \cdot 102}$

ดังนั้น $= \frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \frac{1}{3\times4\times5} + ... + \frac{1}{100\times101\times102} $

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{101 \cdot 102})$

$ = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{10302})$

$ = \frac{1}{2}(\frac{5150}{10302})$

$ = \frac{2575}{10302}$

สมการนี้ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{(n+1)(n+2)} $ ไ่ม่ถูกต้องนะครับ

ที่ถูกคือ $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)} -\frac{1}{(n+1)(n+2)}) $

เห็นด้วยครับคุณอาbanker

โจทย์ อ.โต้ง?

ใช่ครับ:p:)