ข้อสอบ ชิงถ้วย สมเด็จพระเทพ 2549 (ม.ต้น)
 

ข้อสอบ ชิงถ้วย สมเด็จพระเทพ 2549 (ม.ต้น)

ขอแนวคิดของแต่ละข้อด้วยครับ ขอบคุณมากครับ :)

ตอนที่ 1

ตอนที่ 2 ข้อ 1 ถึง ข้อ 5

ตอนที่ 2 ข้อ 6 ถึง ข้อ 7

ตอนที่ 2 ข้อ 8 ถึง ข้อ 10

ตอนที่ 3 ข้อ 2 ถึง ข้อ 3

ซึ่งเท่าที่ผมได้ลองคิดคำตอบดูด้วยตัวเองแล้ว ผมได้คำตอบดังนี้ (แต่ไม่ทราบว่าจะถูกหรือไม่ กรุณาช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ)

ตอนที่ 1

ข้อ 5) คิดได้ตัวเลือกที่ 3 ครับ

ข้อ 10) คิดได้ตัวเลือกที่ 2 ครับ

ข้อ 11) คิดได้ตัวเลือกที่ 1 ครับ

ตอนที่ 2

ข้อ 3) ได้คำตอบเป็น x=3, y=1 ครับ

ข้อ 5) ได้หลักหน่วยของผลคูณดังกล่าวคือ 3 (ได้มาจาก 1x7x9 = 63 แล้วได้เลขหลักหน่วยคือ 3 ครับ)

ตอนที่ 3

ข้อ 2) ได้ว่านายอำนวยสอบมาแล้วเท่ากับ 4 ครั้ง

ข้อ 3) ได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ 16 ตารางหน่วย


ขอบคุณมากครับผม

ตอนที่ 3 ข้อ 2

หมายเหตุ: ยังไงถ้าสะดวกช่วยลงข้อที่เหลือด้วยสิครับ

ตอนที่ 1
5. ตอบ 3 ($(5^{5^5})^{1/5}=5^{5^5/5}$)
10. ตอบ 2 (ตัวส่วนเท่ากัน จะได้ตัวรากทั้งก้อน สมมติเป็น A=3 ยกกำลังสองหนึ่งครั้งจะได้ 9=3+A)
11. ตอบ 1 (เขียนแต่ละตัวในรูปผลบวกของเศษส่วนสองตัว แล้ว telescope sum)

ตอนที่ 2
1. ให้ $a=1...1$ (1 พันตัว) จะได้เทอมในรากเป็น $a\cdot10^{1000}-2a+a=a(10^{1000}-1)=a\cdot9a$ ดังนั้นค่าของรากจึงเป็น $3a=3\dots3$ (3 พันตัว)
2. แยกตัวประกอบจะพบว่า n=1,3,11,13 แต่จะมี n=1,13 เท่านั้นที่ให้จำนวนเฉพาะคือ 11
3. คำตอบคือทุกจำนวนจริง x เมื่อ y ไม่เท่ากับ 7/2
4. 910 มีตัวประกอบ 16 ตัว ตัดตัวประกอบ 1, 910 และ x+1=2 ทิ้ง จะได้โอกาสที่หาเป็น 13/14
5. ผลคูณของเลขท้ายคือ 1x7x9=63 ลงท้ายด้วย 3
6. ข้อนี้โดยไม่เสียนัยสมมติระยะห่างระหว่างบ้านกับท่าเป็น 1 อัตราเร็วฝีพายและกระแสน้ำต่อชั่วโมงเป็น x กับ y จะตั้งได้สองสมการ คือ $$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x-y}-\frac{2}{x}=\frac{16}{60}$$ $$\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{x-2y}-\frac{2}{x}=\frac{32}{60}$$ รวมเทอมแล้วจับสองสมการหารกัน แปลกว่าข้อนี้ผมคิดได้ $x^2:y^2=-2$ ซึ่งมันไม่ควรเป็นเช่นนั้น
7. จับสามสมการบวกกันได้ $\sum x^2y^2=15xyz$ ดังนั้น $x^2y^2=2xyz,\ y^2z^2=10xyz,\ z^2x^2=3xyz$ หรือ $xyz=60,\ yz=10x,\ xy=2z,\ xz=3y$ ดังนั้น $x^2=6,\ z^2=30,\ y^2=20$ และเทอมที่ต้องการหาเท่ากับ 1980.00
8. สมการแรกบวกสามเท่าสมการที่สองแล้วถอดรากที่สามได้ $x+y=10$ สมมติ $y=kx$ แล้วแทนในอัตราส่วนของทั้งสองสมการ แก้หา $k$ ได้ $k=3/2,\ 2/3,\ -1$ ดังนั้น $(x,y)=(4,6),\ (6,4)$
9. ให้ $a=(x+1)^{1/3},\ b=(x-1)^{1/3}$ จะได้ว่า $$\frac{1}{a^2+ab+b^2}=\frac{a-b}{a^3-b^3}$$ แทน $a,b,x$ แล้ว telescope sum จะได้ผลรวมที่ต้องการเป็น $\frac{1}{2}(2005^{1/3}+2006^{1/3}-1)$
10. เทียบไตรยางค์ได้ค่าจ้างปกติ 1500 บาท ค่าจ้างตามกฎหมาย 1200 บาท ผลต่างจึงเป็น 120 บาท

ตอนที่ 3
2. สมมติว่าสอบมาแล้ว $n$ ครั้งได้ $x$ คะแนน จะได้ว่า้ $\frac{x+10}{n+1}=9,\ \frac{x+5}{n+1}=8$ ดังนั้น $x+10-(x+5)=5=(9-8)(n+1)$ นั่นคือ $n=4$
3. จุด D,E มีพิกัดเป็น $(\pm\sqrt3,4)$ พาราโบลาในโจทย์จึงเป็นพาราโบลาคว่ำ มีสมการเป็น $y=-x^2+7$ จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ต้องการอยู่ในรูป $(\pm\frac{a}{2},a)$ ดังนั้น $a^2=16$

ขอบคุณ คุณ nongtum มากนะครับ สำหรับแนวคิดของโจทย์แต่ละข้อ :)

:sweat: ข้อแรกตอนที่1 ตอบข้อ 3 รึเปล่า ข้อ 2 ตอบข้อ2รึเปล่าไม่แน่ใจ ฮืมข้อสอบยากเอาการ(สำหรับบางคน) :wacko:

ตอนที่ 1 ข้อ 6

ตอนที่ 1 ข้อ 7 ถึง ข้อ 9

ตอนที่ 1 ข้อ 12 (ตอนที่ 1 มี 12 ข้อ โพสครบหมดทุกข้อแล้วครับ)

ตอนนี้ผมไม่มีเวลาพิมพ์แนวคิด หากไม่ลืมจะมาพิมพ์เพิ่มให้นะครับ

(ต่อจากด้านบน)
ตอนที่ 3
1. 9 ตารางเมตร
(ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางวงกลมไปหาจุดสัมผัสทั้งสี่ แล้วหาความยาวเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมคางหมู พื้นที่จะ้เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวรัศมีและความยาวเส้นรอบรูป)

4. 3:4:5 หรือ 5:4:3 (ขึ้นอยู่กับว่ามุม P หรือ Q เป็นมุมฉาก)
แนวคิด: สมมติด้านประกอบมุมฉาก $PR,PQ$ ยาว $x,y$ ตามลำดับ จะได้ว่า $2y=x+\sqrt{x^2+y^2}$ เพราะ $y>0$ จะได้ $x:y:\sqrt{x^2+y^2}=3:4:5$
(กรณี Q เป็นมุมฉากก็ทำคล้ายๆกัน)

ตอนที่ 1
1. 4 ($a_0=1,\ a_1=3=2^{1+1}-1,\ a_2=7=2^{2+1}-1,\dots, a_{100}=2^{101}-1$)

2. 4
แนวคิด: ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม ลาก $OD\perp CD$ ที่ $E$ จะได้ $ED=DB:=x$ (รูปที่ผมใช้เรียงจุดจากซ้ายไปขวาดังนี้ A,C,E,D,B)
โดยพีทากอรัสจะได้ $16-x^2=25-4x^2$ ดังนั้น $AB=4x=4\sqrt3$

3. 2 (จับแฝดสามทั้งสองชุดมัดติดกันก่อน แบ่งสี่คนที่เหลือเป็นคู่ๆได้ ${4\choose 2}=6$ แบบ แต่เมื่อลองจับแฝดสามเข้ากลุ่มจะพบว่า จำนวนวิธีการจัดกลุ่มขึ้นอยู่กับสี่คนนี้เท่านั้น)

4. 4
แนวคิด: สมมติก่อนแบ่งมีขนม $S$ ชิ้น นรินทร์หยิบไป $S/4$ ชิ้น
หากวิบูลย์หยิบเป็นคนที่สอง เขาจะหยิบไป $\frac34\cdot\frac{3s}4=\frac{s}4$ ชิ้น ขนมจะเหลือ S/2=22 ชิ้น ทำให้ S=44 ชิ้น
หากวิบูลย์หยิบเป็นคนที่สาม เขาจะหยิบไป $\frac12(\frac{3s}4-20)=2$ ชิ้น ทำให้ S=32 ชิ้น

6. 1 (ข้อนี้อธิบายลำบากหากไม่วาดรูป ในที่นี้ผมไล่จุดบนเส้นรอบวงล้อมสามเหลี่ยม ABC จากตำแหน่ง 12:00 ตามเข็มนาฬิกาดังนี้: C,B,F,E,A)
แนวคิด: ให้ $\angle CAB=\angle BAD=x,\ \angle EDC=y,\ \angle ABC=\angle ABD=z\, \angle DCF=w$
หลังจากไล่มุมตามจุด $A,B,C,D,E$ เท่าที่ได้ไปสักพัก จาก $90^\circ -z=x+y$ พิจารณาที่จุด $D$ จะได้ข้อ ข. แล้วจะได้ข้อ ก. มาเป็นผลพลอยได้
เพราะ $90^\circ -z=x+w$ จะได้ $w+x=x+y$ นั่นคือ $w=y$ (ข้อ ค.)

7. 1 (ให้ $AD=DC/3=x$ โดยสามเหลี่ยมคล้ายจะได้ CD=$\sqrt3x$ ดังนั้น $AC: DC=\sqrt{1+3}:\sqrt{3+9}=1:\sqrt3$)

8. 2
แนวคิด: สมมติระยะทางเป็น $d$ และให้แสนกับสืบเดินด้วยอัตราเร็ว $v_1$ และ $v_2$ (ต่อชั่วโมง) เดินมาเจอกันใช้เวลา t ชั่วโมง
ดังนั้น $d=v_1t+v_2t=(t+3/2)v_1=(t+49/6)v_2$ นั่นคือ $\frac{3}{2}v_1=v_2t,\ \frac{49}{6}v_2=v_1t$ หรือ $\frac{v_1}{v_2}=\frac{2t}{3}=\frac{49}{6t}$ ดังนั้น $t=7/2$

9. 3 (สมมติ $a=10b+c$ เมื่อ $b$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และ $c$ เป็นเลขโดด
จาก $a^2=100b^2+20bc+c^2$ เพราะหลักสิบของ $20bc$ เป็นเลขคู่เสมอ หลักสิบของ $a^2$ จะเป็นเลขคี่ได้ หลักสิบของ $c^2$ ต้องเป็นเลขคี่ ซึ่งมีแต่ $c=4,6$ ที่สอดคล้อง)

12. 3 (ตัวอย่างค้านสำหรับสองตัวเลือกแรก: a=15, b=12, c=21, ข้อ ค. ถูกเพราะ 3|a+b+c)