4th posn final round ช่วยด้วยครับ
 

ผมไปเจอข้อสอบของโอลิมปิกสอวน. ครังที่ 4 อ่ะครับ:aah: (เพื่อนเอามาให้ทำ) คิดเท่าไหร่ก็ไม่ออก มึนมากเลยครับ:sweat: อยากให้ช่วยผมด้วยนะครับ:please: :please:
รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง มีเส้นรอบรูปยาว $2s$ หน่วย มีวงกลมแนบในรัศมี $r$ หน่วย และเส้นที่ลากจากจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในไปยังจุดยอดทั้ง 3 ยาว $s_a,s_b,s_c$ ตามลำดับ จงเเสดงว่า
$\frac{3}{4}+\frac{r}{s_a} +\frac{r}{s_b} +\frac{r}{s_c} \leq \frac{s^2}{12r^2} $
ช่วยหน่อยนะครับ

เพราะ incenter แบ่งครึ่งมุมยอด ดังนั้น อสมการนี้เทียบเท่ากับ $$ \frac{3}{4}+ \sin(\frac{A}{2})+ \sin(\frac{B}{2})+\sin(\frac{C}{2}) \leq \frac{1}{12}(\cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2})+\cot(\frac{C}{2}))^2 $$

ฺั By Jensen's inequality (using concavity of sine function in first quadrant)

$ LHS \leq \frac{9}{4} $

และการพิสูจน์นี้จะสิ้นสุดเมื่อ สามารถแสดงได้ว่า $3\sqrt{3} \leq \cot(\frac{A}{2})+ \cot(\frac{B}{2}) + \cot(\frac{C}{2}) $

ซึ่ง อ้างได้จาก Jensen's inequality & convexity of cot function in first quadrant

กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ $a\, b\, c $ เป็นด้านตรงข้ามมุม $A\, B\, C$ ตามลำดับ ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน ลากเส้นจากจุด $O$ ไปยังจุดสัมผัสวงกลมทั้งสาม ได้แก ่$D\, E\, F$ ซึ่งอยู่บนด้าน $AB\, BC\, CA$ ตามลำดับ
จะได้ว่า$AD = AF \, BD=BE \, CE=CF$ กำหนดให้ $AD=x\, BE=y\, CF=z$ จะได้ว่า $a=x+y\, b=y+z\, c=z+x$
จากสูตรของสามเหลี่ยมได้ว่า $ r = area/s =$ $\frac{\sqrt {xyz}}{\sqrt{x+y+z}}$
พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก $AOD$ ได้ว่า $ s_a=\sqrt{ x^2 + r^2 } =$ $\sqrt{x^2 +\frac{xyz}{x+y+z}}$ $=$ $\frac{\sqrt{(x) (x+y) (x+z)}}{\sqrt{x+y+z}}$ จะได้ว่า $\frac{r}{s_a}$ $=$ $\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$
$\frac{r}{s_b}$ $=$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$
และได้ว่า $\frac{s^2}{12r^2}$ $=$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
ดังนั้นอสมการสมมูลกับ
$\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
โดยอสมการโคชี่จะได้ว่า
$\frac{3}{4}$ $+$ $\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$ $+$ $\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}$
$\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{x}{y+z}$ $+$ $\frac{y}{x+z}$ $+$ $\frac{z}{x+y}$
$\leq$ $\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$
เพียงพอที่จะแสดงว่า
$\frac{3}{4}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $\frac{y+z}{x}$ $+$ $\frac{x+z}{y}$ $+$ $\frac{x+y}{z}$ $\leq$ $\frac{(x+y+z)^3}{12xyz}$
ซึ่งอสมการสมมูลกับ
$x^3$ $+$ $y^3$ $+$ $z^3$ $\geq$ $3xyz$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ A.M.-G.M.

ส่วนsolution ของคุณ passer-by ก็โอเคครับ

ยังมีอีกข้อนะครับ ขอบคุณมากครับที่ช่วยเหลือ(แม้ว่าจะยังไม่ค่อยเข้าใจเรื่อง convex function แต่กำลังศึกษาอยู่:happy: )และที่เป็นโจทย์อีกข้อครับ
จงหา $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ทั้งหมดซึ่ง
$\sum_{i = 1}^{2549}f(x_i + x_{i+1}) + f(\sum_{i = 1}^{2550}x_i ) \leq \sum_{i = 1}^{2550}f(2x_i) $
$\forall x_1,x_2,...,x_{2550}\in \mathbf{R} $
หมายเหตุ:ข้อนี้ผมคิดมาได้ $f(x)\leq f(0)$ ซึ่งจะได้ว่า $f(x)=f(0)$ หรือ $f(x)<f(0)$
ผมพิสูจน์ได้ว่า $f(x)=f(0)$ เป็นจริงทำให้ f เป็ยฟังก์ขันค่าคงตัว แต่ $f(x)<f(0)$ ผมพิสูจน์ไม่ออกอ่ะครับ:sweat:

ผมได้แนวคิดของข้อนี้มานิดหน่อยนะครับ
คือ กระจาย summation ออกมาก่อน แล้วลองแทน $$ x_1= - x_2 , x_2 = -x_3 ,...
จะได้ x_1 = x_3 = x_{คี่} = ... = x_{2549} และ x_2 = x_4 = x_{คู่} =... =x_{2550}$$
แล้วจัดรูปฟังก์ชันให้เรียบร้อย จะได้ $$f(\frac{x}{2})+f(\frac{-x}{2})\leq2f(0)$$ หรือ $$f(x)+f(-x)\leq2f(0)$$
และเมื่อดำเนินการแก้สมการเชิงฟังก์ชันดังกล่าว ก็น่าจะได้คำตอบออกมา (คาดการณ์ว่าน่าจะเป็นฟังก์ชันค่าคงตัว)

ข้อนี้เป็นข้อสอบวันที่ 2 ของการสอบ มีค่าตั้ง7คะแนนแน่ะ
เราก้อทำไม่ได้

นี่เป็นแนวคิดที่ผมคิดเอาไว้คร่าวๆครับไม่ทราบว่าผิดที่ไหนรึเปล่าถ้าผิดก็แนะนำด้วยนะครับ:laugh:
แทนค่า $x_1=x,x_2=x_3=...=x_{2550}=0$ จะได้ว่า
$2f(x)+2548f(0)\leq 2549f(0)+f(2x)...........(1)$
และแทนค่า $x_2=x,x_1=x_3=x_4=x_5=...=x_{2550}=0$ จะได้ว่า
$3f(x)+2547f(0)\leq 2549f(0)+f(2x)...........(2)$
นำ (2)-(1) จะได้
$f(x)\leq f(0)$
ดังนั้น $f(x)<f(0)$ หรือ $f(x)=f(0)$ซึ่งจะได้ว่ากรณีหลังเป็นจริง ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันค่าคงตัว แต่กรณีเเรกนี่สิ เฮ้อ...:cry:

ไม่ไ่ด้มาตอบนะครับ แค่จะมาบอกว่า

ของคุณ brownian อสมการสุดท้าย น่าจะเป็น $ f(x)+f(-x) \geq 2f(0) $

ส่วนวิธีของคุณ Art_ninja ตรงที่บอกว่า (2)-(1) ไม่สามารถทำได้กับอสมการครับ

ว่าแต่ ไม่มีน้องๆคนไหน อยากจะนำโจทย์เต็มๆทั้งหมด มาแปะบ้างเลยหรือครับ เชื่อว่ามีหลายคนอยากเ้ห็น

ข้อสอง trick อยู่ตรงที่เราสามารถสมติว่า $f(0)=0$ ได้ครับ โดยการพิจารณาฟังก์ชัน $\tilde{f}(x):=f(x)-f(0)$ แทน ซึ่งฟังก์ชัน $\tilde{f}$ ก็สอดคล้องเงื่นไขเดียวกับ $f$ คือ
\[
\sum_{i=1}^{2549}\tilde{f}(x_i+x_{i+1})+\tilde{f}\Big(\sum_{i=1}^{2550}x_i\Big)
\leq\sum_{i=1}^{2550}\tilde{f}(2x_i)
\]
เมื่อได้คำตอบกรณี $f(0)=0$ สมมติเรียกว่า $f_0$ แล้วคำตอบทั่วไปจะอยู่ในรูป $f(t)=f_0(t)+c$ โดย $c$ เป็นค่าคงตัวใดๆ

โดยการแทน $x_{odd}=t/2$, $x_{even}=-t/2$ อย่างที่น้อง Brownian ลองทำตามด้วยคุณ passer-by กล่าวไว้คือ
\[
f(t)+f(-t)\geq2f(0)=0
\]
ที่เหลือคือแสดงว่า $f(t)\leq0$ ทุก $t$ (ซึ่งน้อง Art_ninja ก็ได้แสดงไว้แล้ว) ซึ่งจะบีบให้ $f(t)=0$ สำหรับทุก $t$ ดังนั้น $f_0\equiv0$ เพราะฉะนั้นคำตอบกรณีทั่วไปคือ $f\equiv c$

เป็นวิธีที่คิดไม่ถึงจริงๆ ยอดเยี่ยมมากครับ :great:
แต่จากความคิดของคุณ brownian ก็ทำได้เหมือนกันนะครับ
จาก $f(x)+f(-x) \geq 2f(0)$
แต่ไม่ว่าจะ $f(x) \leq f(-x)$ หรือ $f(-x) \leq f(x)$ (พูดอีกแบบหนึ่งก็คือ เราสามารถสมมติได้ว่า $f(x) \geq f(-x)$) เราก็สามารถสรุปได้ว่า $f(x) \geq f(0)$
และเมื่อให้ $x_1=x_2=x,x_3=x_4=...=x_{2550}=0$ ในอสมการที่โจทย์ให้มาจะได้ว่า $f(x) \leq f(0)$
ดังนั้นฟังก์ชันที่เป็นไปตามอสมการคือ $f(x)=c$ เท่านั้น

เเหะๆลืมไปครับ:p ต้องขอบคุณพี่ punk มากเลยนะครับที่ช่วยบอกจุดบกพร่องให้ ขอบคุณมากครับ:D
หมายเหตุ:คุณ passer-by ทำวิธีเดียวกับผมแต่ผมดันไม่รู้ว่ามันใช้ jensen's inequality ได้(ยังไม่รู้เรื่อง convex/concave)

เดี๋ยวผมเอามาโพสท์ให้เย็นนี้นะครับแต่ว่า...
ผมดันทำข้อสอบวิธีทำหายครับเหลือแต่เติมคำ:cry:

สำหรับ comment ของคุณ Art_ninja คือผม assume เอาเองน่ะครับ ว่า ค่าย สอวน. น่าจะสอน Jensen inequality ไปด้วยแล้ว

สำหรับ เรื่อง convex /concave ผมขอตอบแบบ informal แล้วกัันนะครับ เพื่อให้เห็นภาพ

ปกติ ผมจะใช้พาราโบลา คว่ำ-หงายเป็นจินตนาการเริ่มต้นครับ เพราะ พาราโบลาหงาย เป็น convex function ส่วนคว่ำ เป็น concave function สำหรับกราฟอื่นๆ ก็ลองเทียบเคียงกับ 2 รูปนี้ดูน่ะครับ ว่าใกล้เคียงโค้งแบบใด อย่างเช่น sine function ในจตุภาคที่ 1 จะคล้ายๆโค้งพาราโบลาคว่ำ ก็จะเป็น concave ครับ ส่วน cot function ในจตุภาคที่ 1 จะคล้ายกับโค้งพาราโบลาหงาย ก็จะเป็น convex function

ถ้าจะพูดให้ทางการกว่าเดิมนิดนึงก็คือ บนช่วงค่า x ที่เราพิจารณา ถ้าเราลากเส้นตรงเชื่อม 2 จุดบนกราฟ แล้วพบว่าเส้นทั้งเส้นอยูู่๋เหนือกราฟ ก็จะเป็น convex function ในทางกลับกัน ถ้าเส้นทั้งเส้น อยู่ใต้กราฟ ก็จะเป็น concave ครับ

เดี๋ยวสอบปลายภาคเสร็จวันพุธนี้จะเอาตัวอย่าง convex & concave function มาลงในห้องอสมการให้ครับ :D

ขอโทษด้วยนะครับที่ช้าผมสแกนละมันมองไม่เห็นเลยนั่งพิมพ์ใหม่:p