งงเรื่องเงื่อนไขของตัวแปรเมื่อเรา inverse ฟังก์ชันครับ
 

คือ เท่าที่ผมเข้าใจคือ ถ้าเราจะหาอินเวอร์ส หลักทั่วๆไป ที่ทำกันคือ

สลับตัวแปร x กับ y แล้วจัดรูปใหม่ให้ y = เทอม x

แต่พอเราสลับแล้ว เงื่อนไขของตัวแปร x ก็จะถูกเปลี่ยน ... คำถามที่ 1 เพราะอะไร

คำถามที่ 2 แล้วพอจะมีหลักการในการเปลี่ยนเงื่อนไขของตัวแปร x ให้ถูกต้องยังไงอ่ะครับ

ลองทำข้อนี้ให้ดูหน่อยครับ

กำหนด $ f(x) = \cases{x^3-1 & , x \geqslant 1 \cr -(x-1)^2 & , x < 1}$

จงหา $f^{-1}(x)$ โชว์ตรงขั้นตอนการทำเงื่อนไขของ x ด้วยนะครับ ขอบคุณครับ :please:

ผมยกตัวอย่างง่าย ๆ อินเวอร์สของความสัมพันธ์นี้นะครับ

$r(x) = x^3-1 , x \ge 1$

ต้องหาเรนจ์ออกมาก่อน

เราทราบว่า เมื่อ $x \ge 1$ แล้วจะได้ว่า $x^3 \ge 1$ ดังนั้น $x^3- 1 \ge 0$ นั่นคือ

เมื่อ $x \ge 1$ จะได้ $y \ge 0$

ที่ถูกของ $r(x)$ ต้องเขียนเต็ม ๆ ว่า

$r(x) = x^3- 1$ เมื่อ $x \ge 1$ และ $y \ge 0$

หรือ

$y = x^3- 1$ เมื่อ $x \ge 1$ และ $y \ge 0$

หาความสัมพันธ์ผกผันจะได้

$x = y^3-1$ เมื่อ $y \ge 1$ และ $x \ge 0$

$y = \sqrt[3]{x+1}$ เมื่อ $y \ge 1$ และ $x \ge 0$

เขียนย่อ ๆ ว่าเป็น $r^{-1}(x) = \sqrt[3]{x+1} , x \ge 0$