หาจำนวนเต็มคู่ n ทั้งหมด อธิบายโจทย์ข้อนี้ให้หน่อยค่ะ
โจทย์ จงหาว่ามีจำนวนเต็มคู่ n กี่จำนวนซึ่ง $0\leqslant n\leqslant$ 100 และ $5\mid (n^2*2^2n^2+1)$
ไปหาได้มาแบบนี้ค่ะ แต่ไม่เข้าใจ ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ ตามเงื่อนไขโจทย์จะได้ $n^2≡±1(mod 5) และ 2{^2}{n^2}=4n^2≡1(mod 5)$ ดังนั้น พจน์ที่โจทย์ให้มาจะหารห้าลงตัว เมื่อ n^2≡−1 หรือ n=2,8,12,18,...,98 รวมทั้งหมด 20 ตัว ขอบคุณล่วงหน้านะค่ะ ^^ |
อ้างอิง:
|
ใช่ค่ะ ช่วยอธิบายหน่อยนะค่ะ
|
ลองแกะวิธีทำตามนี้นะครับ
1. เช็คว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนที่ไม่ลงท้ายด้วยศูนย์ยกกำลังสองแล้วหารด้วย 5 ได้เศษ 1 หรือ 4 ตอนทดจริงลองแค่ 2,4,6,8 ก็พอ (ทำไม) ตรงนี้จะได้ $n^2\equiv \pm1\pmod{5}$ 2. ทำไม $2^{2n^2}\equiv (2^2)^{n^2}\equiv (-1)^{\text{เลขคู่}}\equiv 1\pmod{5}$ (ที่จริงตรงนี้ผมพิมพ์แก้ผิด แต่เจ้าของกระทู้ไม่ยักจะแย้ง) 3. จาก $n^22^{2n^2}\equiv 1\cdot \pm1\pmod{5}$ เมื่อบวก 1 ใน mod 5 ทั้งสองข้าง เทอมที่ได้จะหารลงตัวด้วยห้าเมื่อใด 4. ใช้ที่แจงไว้ในข้อ 1. มาสรุปคำตอบ |
$n^2\equiv \pm 1\pmod5$ อยู่เเล้วใช่ป่าวอ่ะครับ
เเล้วก็ให้ $2n^2=4k$ เพราะ $n$ เป็นเลขคู่ จาก ทฤษฎีบทเล็กของเเฟร์มาต์ $2^4\equiv 1\pmod5 \rightarrow 2^{4k}=2^{2n^2}\equiv 1\pmod5$ นั่นคือ $n^22^{2n^2}+1 \equiv 0,2\pmod5$ $n=2,8,16,...,98$ ตามเฉลยครับ |
อ้างอิง:
|
#6
ถ้าลงท้ายด้วยศูนย์ แปลว่าตัวนั้นหารด้วย 5 ลงตัว เทอมที่โจทย์ให้มาก็จะหารด้วย 5 ไม่ลงตัวครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:33 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha