โจทย์เกี่ยวกับ matrix
 

ให้ A เป็น matrix ที่มีสมบัติว่ามีจำนวนเต็มบวก n ที่ทำให้
Aⁿ = 0 (เราเรียก matrix เช่นนี้ว่า nilpotent matrix)
ให้แสดงว่า I + A เป็น invertible matrix แล้วก็ให้หาว่า (I + A)^-1 = ?
บอกซะก่อนนาว่าข้อนี้ผมทำได้ ดังนั้นคงไม่ยากหรอกครับ :)

จาก Aⁿ = 0

กรณี n เป็นเลขคี่ จะได้ว่า
I + Aⁿ = I
(I + A)(A^n-1 - A^n-2 + A^n-3 - ... - A + I) = I
ดังนั้น (I + A)^-1 = A^n-1 - A^n-2 + A^n-3 - ... - A + I

กรณี n เป็นเลขคู่ จะได้ว่า
I + A^n-1 - A^n-1 = I
(I + A)(A^n-2 - A^n-3 + A^n-4 - ... - A + I) - A^n-1 = I
(I + A)(A^n-2 - A^n-3 + A^n-4 - ... - A + I) - (I + A)A^n-1 = I
(I + A)(- A^n-1 + A^n-2 - A^n-3 + A^n-4 - ... - A + I) = I
ดังนั้น (I + A)^-1 = - A^n-1 + A^n-2 - A^n-3 + A^n-4 - ... - A + I

นั่นคือ (I + A)^-1 = I - A + A² - A³ + ... + (-1)^n-1A^n-1

แหม...คุณ TOP ตีโจทย์ของผมแตกกระจุยหมดทุกข้อใน
เวลาอันรวดเร็วเสียจนผมหาโจทย์ใหม่แทบไม่ทันเลย
จริงๆผมยังมีโจทย์เหลืออยู่ใน stock อีกข้อนึงแต่อาจไม่
ค่อยสวยนัก ชาว Mathcenter จะลองทำดูก็ได้นะครับ

ให้หา (real) matrix A ขนาด 2x2 ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า A² = A
(เราเรียก matrix เช่นนี้ว่า idempotent matrix) จะเห็น
ว่าทั้ง 0 และ I ต่างก็เป็น idempotent matrix แต่มันยังมี
มากกว่านี้อีก หามาให้หมดเลยครับ

ข้อนี้ละไว้ ไม่แสดงวิธีทำละกัน เผื่อว่าจะมีผู้สนใจคิดเล่นบ้าง :) (อยากให้น้องๆหรือคนอื่น ที่แก้โจทย์พวกนี้ได้ แต่เป็นคนละวิธี ได้ร่วมแสดงความคิดเห็นกันบ้าง จะได้เป็นการแลกเปลี่ยนความรู้ หรือแนวทางการคิด เพื่อให้ทุกคนได้พัฒนาตนเองยิ่งขึ้น อย่าหยุดแสดงความคิดเห็น หรือหยุดความคิดแก้ปัญหา เพียงแค่ว่ามีผู้เฉลยแล้ว)

รูปแบบของเมตริกซ์ที่เหลือคือ
[(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb]

ผมว่าคำตอบของคุณ TOP ยังคลุมไม่หมดนะครับ ยกตัวอย่างเช่น
[0 0]
[0 1]
ก็เป็น idempotent matrix แต่มันไม่อยู่ในคำตอบที่คุณ TOP ให้มาน่ะ
ยังไงก็ตามคุณ TOP สามารถ parametrize คำตอบได้สวยกว่าที่ผมทำนะ

พลาดไปหนึ่งอันจริงด้วย :D ตอนแรก ผมหาออกมาได้ 4 แบบดังนี้คือ
[0 , b ; 0 , 1]
[1 , 0 ; m , 0]
[1 , b ; 0 , 0]
[(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb]
แต่พิจารณาคร่าวๆ แล้วพบว่า จากเมตริกซ์อันที่สี่
แทน m = 1/b จะได้เมตริกซ์อันแรก (กรณีนี้ลืมไปว่า จะใช้แทนเมตริกซ์อันแรกไม่ได้ ถ้า b = 0)
แทน b = 0 จะได้เมตริกซ์อันที่สอง
แทน m = 0 จะได้เมตริกซ์อันที่สาม
จึงตัดสินใจตอบไปเพียงเมตริกซ์อันที่สี่เท่านั้น

{{a,b},{c,d}}² = {{a,b},{c,d}}
จะได้
a² + bc = a และ d² + bc = d
b(a+d) = b และ c(a+d) = c

กรณี 1: a+d = 1
แสดงได้ไม่ยากว่า a - a² = d - d² = ad
จึงได้ว่า ad = bc ซึ่งก็คือ determinant นั่นเอง
กรณีจึงได้ทุกๆ 2x2 singular matrix ที่ a₁₁ + a₂₂ = 1

กรณีที่ 2: a+d ไม่เท่ากับ 1
จะได้ b = c = 0
ดังนั้น a² = a และ d² = d
ซึ่งมีคำตอบเป็น a = 0,1 และ d = 0,1
เอาเฉพาะกรณีที่ a+d ไม่เท่ากับ 1 (จะได้ไม่ซ้ำกับกรณีที่ 1)
จะได้เมตริกศูนย์และเมตริกเอกลักษณ์ตามที่คุณ warut ยกเป็นตัวอย่าง

ขอบคุณ คุณ_*_ ที่ได้ร่วมแสดงความคิดเห็นนะครับ :) งั้นมาดูแนวคิดของผมบ้าง

จาก A² = A
ถ้า A^-1 มีจริง
จะได้ว่า A = I

ถ้า A^-1 ไม่มีจริง
A จึงเป็น singular matirx ดังนั้น |A| = 0
เราจึงได้ว่า A สามารถเขียนได้ในรูปของ [a , b ; ma , mb]
จาก A² = A จะได้ว่า
a² + mab =a ==> a(a + mb - 1) = 0
ab + mb² = b ==> b(a + mb - 1) = 0
ma² + m²ab = ma ==> ma(a + mb - 1) = 0
mab + m²b² = mb ==> mb(a + mb - 1) = 0


กรณี a น 0 , b น 0 , m น 0
ดังนั้น a = 1 - mb เราจึงได้ A = [(1-mb) , b ; m(1-mb) , mb]

กรณีอื่นๆที่เหลือ
หลังจากพิจารณาแล้วจะได้ A 3 แบบคือ
[0 , b ; 0 , 1]
[1 , 0 ; m , 0]
[1 , b ; 0 , 0]

กรณี [0,0; b,1] กับ [0, b; 0, 1] ถือเป็นกรณีเดียวกันด้วยหรือ?

ขอบคุณอีกครั้งที่ชี้จุดบกพร่องให้ :)
"เราจึงได้ว่า A สามารถเขียนได้ในรูปของ [a , b ; ma , mb]" ตรงนี้จะใช้ไม่ได้ถ้า a = 0 หรือ b = 0
เมื่อพิจารณากรณีนี้เพิ่มจะได้ [0 , 0 ; 0 , 0] และ [0 , 0 ; c , 1] ตามที่คุณ _*_ ได้บอกเอาไว้

ครบแล้วครับ idempotent matrices ขนาด 2 x 2 ทั้งหมด
น้องๆที่อยากเป็นเด็กโอฯต้องขยันทำโจทย์อย่างพี่ TOP นะครับ :D