โจทย์ FE ครับ
ข้อนี้ทำยังไงครับผม
$จงหา f: \Re \rightarrow \Re ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ$ $(x-y)f(x+y) - (x+y)f(x-y) = 4xy(x^2-y^2)$ |
จัดรูปได้
$\dfrac{f(x+y)}{x+y}-\dfrac{f(x-y)}{x-y}=4xy$ ให้ $g(x)= \dfrac{f(x)}{x} $ $g(x+y)-g(x-y)=4xy$ แทน $x=y$ ได้ $g(x)= x^2+g(0)$ ต่อเลยครับ ๆ ๆ ผิดครับ ๆ |
#2 ทำแบบนั้นไม่ได้ครับ เพราะจากบรรทัดแรกมาบรรทัดสามบ่งว่า $x+y \not= 0$ และ $x-y \not= 0$
จึงแทนลงไปว่า $x=y$ ไม่ได้ครับ |
$g(0)=\dfrac{f(0)}{0}$ :died::died::died:
|
#3,#4
จริงด้วยยยย ขอบคุณครับลืมสนิทเลย |
วิธีข้างต้นเป็นทริคการฝันครับ คือถ้าลองทำไปมาเราจะเดาคำตอบว่าเป็น $f(x)=x^3+cx$
ซึ่งยังไงวิธีทำก็ผิดอยู่แล้ว แต่เราใช้ประโยชน์จากคำตอบที่เดามาต่อยอดครับ ดังนี้ สร้าง $g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ซึ่ง $g(x)=f(x)-x^3$ จากนั้นจัดรูปสมการ มันจะลงตัวพอดีเลยครับ ได้ว่า $(x-y)g(x+y)-(x+y)g(x-y)=0$ แทน $x=\dfrac{a-b}{2}$ และ $y=\dfrac{a+b}{2}$ ได้ว่า $bg(a)=ag(b)$ สำหรับ $a,b \not= 0$ ได้ว่า $\dfrac{g(a)}{a}=\dfrac{g(b)}{b}$ ดังนั้น $h(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ เป็นฟังก์ชันคงตัว สมมติว่าเป็นค่า $k \in \mathbb{R}$ จัดรูปจนหมดได้ว่า $f(x)=x^3+kx$ สำหรับ $x \not= 0$ แต่จากสมการดั้งเดิม ถ้าเราแทน $x=y=1$ ก็จะพบว่า $f(0)=0=(0)^3+k(0)$ ด้วยเช่นกัน เราจึงสรุปได้ว่า คำตอบคือ $f(x)=x^3+kx$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ |
#6 ขอบคุณมากครับ :D
|
ขอบคุณมากครับ ^^
|
$(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^2-y^2)$
$\frac{f(x+y)}{x+y}-\frac{f(x-y)}{x-y}=4xy=(x+y)^2-(x-y)^2$ $\frac{f(x+y)}{x+y}-(x+y)^2=\frac{f(x-y)}{x-y}-(x-y)^2$ $\therefore \frac{f(x)}{x}-x^2=c$ $\therefore f(x)=x^3+cx$ |
ลองปรับให้กระชับมากขึ้นนะครับ
อ้างอิง:
แทน $(x,y)$ ด้วย $\left(\dfrac{x+1}{2},\dfrac{x-1}{2}\right)$ จะได้ $f(x)-xf(1)=x^3-x$ นั่นคือ $f(x)=x^3+cx$ //comment วิธีนี้จะไม่มีปัญหาเรื่องตัวส่วนเป็นศูนย์ให้เวิ่นเว้อเหมือนวิธีอื่นครับ |
ที่เค้าซุกซ่อนกันก็อย่าไปค้นกันนะครับ ยุคสมัยเริ่มเปลี่ยนแล้ว อนาคตก็จะเปลี่ยนไปอีก คิดว่าทางแก้ไขเบื้องต้นอาจจะเป้นการศึกษาเป็นกลุ่มและยึดมั่นในสิ่งที่ดี แม้ด้านมืดจะมีขนาดเท่าด้านสว่าง ก็อย่าหลงไหลไปกับสิ่งเลวร้ายมากนัก โดยปราศจากความรู้ในการเอาตัวรอด
|
#10 ขอคารวะครับ :please:
ลืมนึกถึงเรื่องที่ว่า $x+y, x-y$ สามารถเปลี่ยนเป็น $a,b$ ใดๆได้ โดยรวมถึงตัวเลขธรรมดา |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:26 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha