โจทย์แบบเรียน สอวน. NT
 

ขอถาม 3 ข้อ ครับ
1.จงแสดงว่า $ n^7-n$ หารด้วย 42 ลงตัวทุกจำนวนเต็มบวก n
2. จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก $n , 4^n \equiv 1+3n(mod 9)$
3. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุกๆจำนวนเต็ม $x ,x^2 \equiv x(mod p)$
ก็ต่อเมื่อ $x\equiv 0 , 1(mod p)$

1. obvious โดย Extended Fermat's little theorem.
2. เนื่องจาก $4^{3}\equiv 1\pmod{9}$ ดังนั้น
สำหรับ $n \in \mathbb{N}$ ใดใด ให้ $0\leq r <3$ เป็นเศษจากการหาร $n$ ด้วย 3
ดังนั้น $4^{n}\equiv 4^{r}\pmod{9}$
ซึ่ง $4^{1} \equiv 4$, $4^{2} \equiv 7$, $4^{3} \equiv 10$
นั่นคือ $4^{n}\equiv 4^{r} \equiv 1+3r \equiv 1+3n\pmod{9}$
3. แขมันน่อง; $p \mid x\left(x-1\right)$ ก็ต่อเมื่อ $p \mid x$ หรือ $p \mid x-1$
ก็ต่อเมื่อ $x \equiv 0,1 \pmod{p}$
จบเฉย

นึกว่าจะไม่มีคนตอบซะแล้ว ขอบคุณนะครับ:happy: