เรื่องสหอนุกรมครับ
 

คือผมงงครับ ทำไมทำ 2 วิธี ถึงได้คำตอบไม่เท่ากัน

โจทย์: จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม ${1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...}$

ช่วยตรวจวิธ๊ทำและคำตอบของผมทีครับ ว่าวิธีใดผิด และผิดเพราะอะไรครับ

วิธีที่ 1:

${S_n = 1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{n}{2^{n-1}}}$ ..................................... (1)

นำ r คูณตลอดทั้งสมการ จะได้ ${2S_n = 2+2+\frac{3}{2}+\frac{4}{2^2}+\frac{5}{2^3}+...+\frac{n+1}{2^{n-1}} }$ ........... (2)

(2)-(1); ${S_n = 2+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}}}$

= ${3+(\frac{\frac{1}{2}(1-{(\frac{1}{2}})^n)}{1-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2^{n-1}}}$

${S_n}$ = ${4-(\frac{1}{2})^n+\frac{1}{2^{n-1}}}$



วิธีที่ 2:

${S_n = 1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{n}{2^{n-1}}}$ ..................................... (1)

นำ ${\frac{1}{r}}$ คูณตลอดทั้งสมการ จะได้ ${\frac{1}{2}S_n = \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+...+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^n}}$ ....................... (2)

(1)-(2); ${\frac{1}{2}S_n = 1+ (\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n-1}})-\frac{n}{2^n}}$

= ${1+(\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}})-\frac{n}{2^n}}$

${\frac{1}{2}S_n = 2-(\frac{1}{2})^n-\frac{n}{2^n}}$

${S_n = 4-2(\frac{1}{2})^n-\frac{2n}{2^n}}$


คือคำตอบที่ได้มันไม่เท่ากันอะครับ ไม่รู้ผิดตรงไหน ผมลองจัดรูปแล้วก็ยังไม่เท่ากันครับ

รบกวนพี่ๆช่วยหน่อยครับ พรุ่งนี้จะสอบแล้วครับ

:please:

วิธีที่ 1 สมการที่ 2 พจน์สุดท้ายผิดครับ.

ผิดยังไงช่วยอธิบายทีครับ

ขอบคุณครับ

ถ้ามองไม่เห็นว่าผิดยังไง ลองแทน n น้อยๆเช่น 1 หรือ 2 ดูครับ แล้วจะเห็นว่าสมการที่ 1 กับ 2 ไม่สอดคล้องกัน

ก็ไม่ได้ตัด2 ข้างล่างนี่ครับ แล้วตัวเศษจู่ ๆ เป็น $n + 1$ ได้อย่างไร?

ผมเขียนวิธีคิดให้ดูนะครับ ตรวจสอบโดยการแทน n = 1, 2, 3, ... ลงในสูตรจะพบว่าถูกต้องคือ

$S_1 =1, S_2= 2, S_3 = 11/4, S_4 = 13/4,...$

$S = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} +...+ \frac{n-1}{2^{n-2}} + \frac{n}{2^{n-1}} ... (1)$

$2S = 2 + 2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{2^2} + ... + \frac{n-1}{2^{n-3}} + \frac{n}{2^{n-2}} ... (2)$

(2)-(1),

$S = 2 + (\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2}+ ... + \frac{1}{2^{n-2}}) - \frac{n}{2^{n-1}}$

$S = 2 + 2(1-\frac{1}{2^{n-1}}) - \frac{n}{2^{n-1}} = 4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$