พิสูจน์อสมการ (ช่วยหน่อยครับ)
 

ให้ x,y เป็นจำนวนจริงบวกที่ x+y=1 จงพิสูจน์ว่า[x+(1/x)]^2 +. [y+(1/y)]^2. มากกว่าเท่ากับ 25/2

จาก $a^2+b^2\geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$ จะได้

$\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2\geq\dfrac{1}{2}\left(x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2$

ลองต่อโดยใช้ $x+y=1$ และ AM-GM ครับ

ถือโอกาสทบทวนความรู้ไปในตัว...

อีกวิธีนึงคือใช้ Jensen เลือกฟังก์ชันเป็น $f(x)=(x+\frac{1}{x})^2$

จะได้ $f(a)+f(b) \geq 2f(\frac{a+b}{2})$

ทำเป็นกรณีทั่วไปก็ได้ $f(a_{1})+f(a_{2})+...+f(a_{n}) \geq nf(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})$

จะได้อสมการนี้มา $(a_{1}+\frac{1}{a_{1}})^2+(a_{2}+\frac{1}{a_{2}})^2+...+(a_{n}+\frac{1}{a_{n}})^2 \geq \frac{(n^2+1)^2}{n}$

ซึ่งก็จริงสำหรับ $a_{i} \in \mathbb{R^{+}}$ ที่ $\sum a_{i}=1 $