|
ขอโจทย์ holder ครับ
:cry:ขอโจทย์ holder ครับ
พอดีฝึกอยู่และหาประสบการณ์เกี่ยวกับโจทย์ประเภทนี้ครับ คือผมหาตัวอย่างได้ยากมากครับ |
อสมการต่อไปนี้มีวิธีพิสูจน์ได้เยอะแยะ แต่หนึ่งในนั้นคือใช้ Holder's inequality ครับ
$a,b,c>0$ 1. $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ 2. $(a+b+c)^3\leq 9(a^3+b^3+c^3)$ 3. $ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$ 4. $a^2b+b^2c+c^2a\leq a^3+b^3+c^3$ 5. $3(a+b+c)\leq (a^2+b^2+c^2)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)$ 6. $\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\geq a+b+c$ 7. $\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\geq \dfrac{1}{3}(a+b+c)^2$ 8. $\Big(\dfrac{a}{2}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{6}\Big)^3\leq \dfrac{a^3}{2}+\dfrac{b^3}{3}+\dfrac{c^3}{6}$ 9. $(a+b+c)^3\leq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$ 10. $\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ เมื่อ $a+b+c=1$ |
ขอ ใจความอสมการ holder หน่อยครับ
|
ข้อ $1$ $(a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc$
$(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}})(\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}})(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{c}})\geq(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{abc}{bca}}}+\sqrt[3]{\sqrt{\frac{bca}{abc}}})^3=2^3=8$ เเล้วจัดรูป ข้อ $2$ $(a+b+c)^3\leq9(a^3+b^3+c^3)$ $(a^3+b^3+c^3)(1^3+1^3+1^3)(1^3+1^3+1^3)\geq(a\cdot1\cdot1+b\cdot1\cdot1+c\cdot1\cdot1)^3=(a+b+c)^3$ ข้อ $3$ $ab^2+bc^2+ca^2\leq a^3+b^3+c^3$ $(a^3+b^3+c^3)(b^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot b^6}+\sqrt[3]{b^3\cdot c^6}+\sqrt[3]{c^3\cdot a^6})^3=(ab^2+bc^2+ca^2)^3$ ข้อ $4$ $a^2b+b^2c+c^2\leq a^3+b^3+c^3$ $(a^3+b^3+c^3)(a^3+c^3+a^3)(b^3+c^3+a^3)\geq(\sqrt[3]{a^6\cdot b^3}+\sqrt[3]{b^6\cdot c^3}+\sqrt[3]{c^6\cdot a^3})^3=(a^2b+b^2c+c^2a)^3$ ข้อ $5$ $3(a+b+c)\leq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ อสมการสมมูลกับ $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq 3abc(a+b+c)$ มี lower bound $(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^2\geq3abc(a+b+c)$ อสมการเเรก $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$ โดย Holder อสมการหลังเป็นผลโดยตรงมาจากอสมการเเรก กระจายออกมาอสมการสมมูลกับ $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}\geq 2(a+b+c)$ ซึ่งเป็นจริงจากอสมการ Holder $(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})(b+c+a)(a+b+c)\geq(a+b+c)^3$ เเละ $(\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c})(a+b+c)(b+c+a)\geq(a+b+c)^3$ ข้อ $6$ $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq a+b+c$ $(b+c+a)(b+c+a)(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2})\geq(a+b+c)^3$ ข้อ $7$ $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq\frac{1}{3}(a+b+c)^2$ $(1+1+1)(b+c+a)(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a})\geq(a+b+c)^3$ ข้อ $8$ $(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3\leq\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6}$ $(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})\geq(\sqrt[3]{\frac{a^3}{8}}+\sqrt[3]{\frac{b^3}{27}}+\sqrt[3]{\frac{c^3}{216}})^3=(\frac{a}{2}+\frac{b}{3}+\frac{c}{6})^3$ ข้อ $9$ $(a+b+c)^3\leq (a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)$ $(a^3+1+1)(1+b^3+1)(1+1+c^3)\geq(\sqrt[3]{a^3\cdot1\cdot1}+\sqrt[3]{1 \cdot b^3 \cdot 1}+\sqrt[3]{1 \cdot1 \cdot c^3})^3=(a+b+c)^3$ ข้อ $10$ $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq\sqrt{\frac{3}{2}}$ เมื่อ $a+b+c=1$ Homogenize เป็น $(\sum\frac{a}{\sqrt{b+c}})^2\geq \frac{3}{2}(a+b+c)$ โดยอสมการ Holder $(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})(\sum a(b+c))\geq (\sum a)^3\geq \frac{3}{2}(\sum a(b+c))(a+b+c)$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ ซึ่งเป็นจริงโดย Holder $(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)(ab+bc+ca)\geq(ab+bc+ca)^3$ รบกวน check ความถูกต้องด้วยครับ สำหรับข้อ 5 ผมอยากรู้ว่ามีวิธีที่ไม่ต้องกระจายไหมครับคุณ Nooonuii:haha: เเบบใช้ต่อเดียวออกเลย ถ้าไม่เป็นการรบกวนจนเกินไปนะครับ ผมขอโจทย์อีกได้ไหมครับ :please: |
มีพิมพ์ผิดตรงข้อ $9$ ครับ
ข้อ $5$ ผมทำแบบนี้ครับ $3(a+b+c)=9\Big(\dfrac{a+b+c}{3}\Big)$ $~~~~~~~~~~~~~~~\leq (a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)\Big(\dfrac{a+b+c}{3}\Big)$ $~~~~~~~~~~~~~~~= \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$ $~~~~~~~~~~~~~~~\leq \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2)$ |
$a, b, c>0$
11. $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$ เมื่อ $a+b+c=1$ 12. $(abc+1)^3\leq (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$ 13. จงหาค่าสูงสุดของ $\dfrac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}$ 14. $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$ 15. $(a+b+c)\Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) \leq\Big(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\Big) \Big(\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}\Big)$ |
ในที่สุดก็ออกซะที ขอโจทย์อีกนะครับ :please:
ข้อ $11$ $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2+(c+\frac{1}{c})^2\geq\frac{100}{3}$ จาก $a+b+c=1$ โดยอสมการ Holder จะได้ว่า $\sum(a+\frac{1}{a})^2\geq\frac{(\sum(a+\frac{1}{a}))^3}{3\sum(a+\frac{1}{a})}=\frac{(\sum a+\sum \frac{1}{a})^2}{3}\geq\frac{(a+b+c+\frac{9}{a+b+c})^2}{3}=\frac{100}{3}$ เมื่อ $a+b+c=1$ กระจายออกมาจะได้ว่า $\sum a^2+\sum\frac{1}{a^2}+6\geq\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{27}{(a+b+c)^2}+6=\frac{100}{3}$ ข้อ $12$ $(abc+1)^3\leq(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$ โดยอสมการ Holder $(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\geq (\sqrt[3]{a^3b^3c^3}+\sqrt[3]{1})=(abc+1)^3$ ข้อ $13$ จงหาค่าสูงสุดของ $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}$ โดยอสมการ Holder $(a+b+c)(b+a+1)(c+1+b)(1+c+a)\geq(\sqrt[4]{abc}+\sqrt[4]{bac}+\sqrt[4]{cba})=(3\sqrt[4]{abc})^4=81abc$ ดังนั้น $\frac{abc}{(a+b+c)(a+b+1)(b+c+1)(c+a+1)}\leq\frac{1}{81}$ เกิดค่าสูงสุดเมื่อ $a=b=c=1$ ข้อ $14$ $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$ โดยอสมการ Holder $(\sum\frac{a}{b+c})\geq\frac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)(a(b+c)+b(c+a)+c(a+b))}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab +bc+ca)}=\frac{3}{2}$ ข้อ $15$ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c})$ $(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})\geq\frac{(a+b+c)^3}{abc+bca+cab}=\frac{(a+b+c)(a+b+c )^2}{3abc}\geq\frac{(a+b+c)3(ab+bc+ca)}{abc}=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ ขอเรียกว่าพี่ก็เเล้วกันนะครับ ผมขอถามว่าในการทำโจทย์อสมกาีรสิ่งที่ต้องทำทุกครั้งคืออะไรครับ เพราะผมเห็นพี่ Nooonuii ทำโจทย์ของ Hojoo Lee กวาดไปหมดเลย ผมยังทำได้เเค่บางข้อ เเล้วเทคนิกที่พี่ใช้เเต่ละอย่างในการทำโจทย์เเต่ละข้อผมเห็นพี่พิจารณาวิธีพิสูจน์ได้สั้นเเละกระชับ ตรงประเด็นมาก เหมือนรู้ว่าข้อนั้นๆทำเเบบไหนถึงจะเหมาะ อีกอย่างคือโจทย์อสมการที่มีเงื่อนไขเช่น $a,b,c>-1$ หรือ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ผมก็ไม่รู้จะเริ่มตรงไหนดี พอจะมีอะไรเเนะนำไหมครับ :) |
อ้างอิง:
เพราะถ้าอสมการไม่ homogeneous มันจะมีเงื่อนไขแฝงที่ทำให้เราต้องใช้อสมการกับตัวเลขด้วย อีกอย่างที่มักจะทำบ่อยคือเปลี่ยนอสมการยุ่งๆโดยการสร้างตัวแปรใหม่ หรือบางทีถ้าอสมการไม่โหดมากก็กระจายออกมา ที่เหลือก็คงเป็นประสบการณ์ในการทำโจทย์หลายๆแบบมั้งครับ ทำให้มองเห็นอะไรได้ง่ายขึ้น บางครั้งก็ต้องเดาใจคน สร้างโจทย์ด้วยครับ ว่าเขาจะเอาลูกเล่นอะไรมาใช้บ้าง โจทย์ที่มีเงื่อนไขอย่างเช่น $a,b,c>-1$ ผมจะเปลี่ยนตัวแปร เป็น $x=a+1,y=b+1,z=c+1$ แล้วพิสูจน์อสมการในตัวแปร $x,y,z>0$ แทน เพราะเราคุ้นเคยอสมการของ จำนวนจริงบวกมากกว่า ถ้าตัวแปรเป็นจำนวนจริงก็ำพยายามดูว่าอสมการไหนบ้างที่ใช้ได้ในสถานการณ์นี้ บางครั้งก็ำพยายามพิสูจน์โดยผ่านทางค่าสัมบูรณ์ หรือไม่ก็กำลังที่เป็นคู่ของตัวแปร |
โจทย์เริ่มจะหมดแล้วครับ เหลือแต่ยากๆ
$a,b,c>0$ 16. $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ 17. $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{\ln{(a^2+b^2+c^2)}}{\ln{(a^3+b^3+c^3)}}\leq\dfrac{2}{3}$ เมื่อ $a+b+c=1$ 18. $\dfrac{a}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+2c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+2a}}\geq 1$ เมื่อ $a+b+c=1$ |
ข้อ 16 ค่อนข้างจะ well known อะนะ....
ขอข้อ 18 หละกัน โดยอสมการ Holder $(\sum_{cyc} a(a+2b))(\sum_{cyc} \dfrac{a}{\sqrt{a+2b}})^2\geq (\sum_{cyc} a)^3$ เลยได้ $LHS^2\geq \dfrac{(\sum_{cyc} a)^3}{(a+b+c)^2}=1$ |
Cannot type Thai(New Window screwed me up):mellow:
$16$ $\sum \frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}$ $(\sum\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}})^2\geq\frac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}\geq1$ iff $(a+b+c)^3\geq a^3+b^3+c^3+24abc$ iff $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc$ Obviously true. And $17$ I don't know Log Please give me a hint :please: |
ข้อ 17 ถ้ากำจัด $\ln$ แล้วมันก็ไม่มีอะไรนี่ครับ
|
พี่ Nooonuii ต้องใช้สมบัติ Log ข้อไหนเหรอครับ ผมทำได้ถึงเเค่ตรงนี้เอง
$\frac{1}{2}\leq \frac{log(a^2+b^2+c^)}{log(a^3+b^3+c^3)}\leq\frac{2}{3}$ ที่บอกว่ากำจัด Log กำจัดยังไงเหรอครับ ถ้ามีโจทย์อีกผมขอเอามาทำนะครับ อยากเก่งเเบบคนอื่นเขาบ้าง หรือเเนะนำชื่อหนังสือมาก็ได้ครับ ผมจะไปหามาอ่าน :please: |
ดูแล้วคุณ Keehlzver ท่าทางเก่งกาจไม่ใช่เล่น ... กำลังเข้าค่าย 2 หรือเตรียมตัวช่วงไหนอยู่ครับ ?
|
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:44 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha