ข้อสงสัย ? (method of mixing variables)
 

ผมเจอหนังสือเล่มนึงเป็นอสมการนี้เขาเขียนไว้ $$f(x_1,x_2,x_3,...,x_n) \geq f(t,t,t,...,x_n)$$
where t is mean of $x_1,x_2,x_3,...$ such as the arithmetic mean,the geometric mean or the root mean square.

ผมไม่รู้เข้าใจถูกหรือเปล่าถ้าถูกผมลองตั้ง $f(x,y,z)=xyz$ ต้องพิสูจน์ $f(x,y,z) \geq f(x,t,t)$ เมื่อ $t=\dfrac{y+z}{2}$ แต่มันไม่จริงอ่ะครับ

ถ้าท่านใดเข้าใจช่วยอธิบายเพิ่มเติม+พิสูจน์ข้อความข้างต้นหน่อยครับ

Method of mixing variable มักใช้เพื่อลดจำนวนตัวแปรในโจทย์ค่ะ สมมติตอนนี้ เรามีฟังก์ชัน 3 ตัวแปร $f(x,y,z)$ ถ้าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $f(x,y,z)\geq f(x,t,t)$ which $t$ is mean of $y,z$ ก็จะทำให้ตัวแปรของสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ ลดลง เหลือ 2 ตัว คือ $t,x$ อาจทำให้การพิสูจน์ง่ายขึ้น

แล้วเราจะรู้ได้ยังไงครับว่าเราควรใช้ mean ตัวไหน จะใช้ A.M.,G.M.,H.M. หรือ R.M.S. อ่ะครับ??

แล้วทำไมเราถึงใช้วิธีนี้ในการพิสูจน์อสมการได้อ่ะครับ //ไม่รู้จริงๆ อ่านในหนังสือแล้วไม่เข้าใจ TT

1. mean ตัวนั้นต้องสอดคล้องกับเงื่อนไขของโจทย์ เช่น เงื่อนไขเป็น $a+b+c=3$ ก็ควรใช้ arithmetic mean
2. mean ที่ทำให้สะดวกในการพิสูจน์

ลองยกตัวอย่างให้ดูหน่อยได้มั้ยอ่ะครับ ว่ามันจะใช้ยังไง??