JBMO shortlist ~
 

จงหาจำนวนที่ใหญ่ที่สุดของ $m$ ที่ทำให้ $2005x+2007y = m$ มีผลเฉลยเป็นจำนวนนับ :please:

โจทย์มันแปลกๆนะครับ

เพราะโดยปกติ ถ้า (a,b)= 1 แล้วทุกจำนวนที่มากกว่า ab-a-b จะเขียนได้ในรูป ax+by เมื่อ x,y เป็น nonnegative integer solutions

ส่วนจำนวนที่ไม่เกิน ab-a-b จะมีครึ่งหนึ่ง เขียนได้และอีกครึ่งเขียนไม่ได้ใน form ดังกล่าว

โทษทีครับ มีั x,y คู่เดียวเท่านั้นที่ทำให้ m ที่ใหญ่ที่สุดมีคำตอบ เป็นจำนวนนับ )

ด้วยขั้นตอนของยูคลิดเราจะได้ว่า
$$1=2005(1003)+2007(-1002)$$
คูณด้วย m ทั้งสมการจะได้ว่า
$$m=2005(1003m)+2007(-1002m)$$
เราจะได้รูปทั่วไปของค่า x และ y คือ $x=1003m+2007t$ และ $y=-1002m-2005t$

กรณีที่ 1 $m>0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[0,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ตือเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t ที่สอดคล้องกับค่าของ x และ y

กรณีที่ 2 $m=0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[1,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t mี่สอดคล้องกับค่าของ x และ y เช่นกัน

กรณีที่ 3 $m<0$ จะได้ว่า ค่าของ x จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $[0,\infty )$
ค่าของ y จะเป็นจำนวนนับก็ต่อเมื่อ t อยู่ในช่วง $(-\infty ,-1]$
จะเห็นว่าไม่มีค่าของ t mี่สอดคล้องกับค่าของ x และ y เช่นกัน

เหมือนกับว่าข้ิอนี้จะไม่มีค่า m ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนะครับ

ปล. ไม่รู้ถูกรึเปล่านะครับ เบลอมากๆ ตอนแรกได้ m=-2 ไปๆมาๆได้ -4 ไปๆมาๆไม่มีคำตอบ :haha:

ดูในเฉลยไม่ค่อยเข้าใจ แต่เขาตอบ $2*2005*2007$ อ่ะครับ

ผมก็งงๆตัวเองอยู่ครับ :haha: อย่าไปใส่ใจเฉลยของผมมากเลยครับ เหมือนจะมั่วอยู่หลายที่เลย :sweat:

ลองเช็คคำตอบดูแล้วถูกต้องเลยครับ :great:

ไม่ทราบว่ามี Solution รึเปล่าครับ อยากเห็นวิธีมากๆ :please: