Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=1)
-   -   พื้นที่ผิวและปริมาตร (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=1030)

promath 13 มีนาคม 2006 18:16

พื้นที่ผิวและปริมาตร
 
มีเรื่องอยากจะให้ทุกๆ คนช่วยกันหาคำตอบหน่อยครับ

ปัญหาที่ 1 : :D
พื้นที่ผิวของทรงกลมมีความสัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกลมอย่างไร?

ปัญหาที่ 2 : :happy:
อยากทราบที่มาของสูตรพื้นที่ผิวของทรงกลม 4pr2
และอยากทราบที่มาของสูตรปริมาตรของทรงกลม 4/3pr3
หมายความว่า เขาใช้วิธีใดถึงคิดออกมาได้ว่า การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลมจึงใช้สูตรนี้

พรุ่งนี้จะมาติดตามคำตอบนะครับ... :rolleyes:

nongtum 13 มีนาคม 2006 21:24

ขอลองอธิบายเองบ้าง ยืนดีรับฟังคำถามและข้อเสนอแนะเพิ่มเติมครับ :)

1. หาได้โดยหาอัตราส่วนหรือแทนค่าหลายๆค่าแล้วคำนวณหาอัตราส่วนครับ

2. เราอาจมองง่ายๆ(อ้างจากที่นี่ หากสงสัยที่มาของสูตรอื่นลองคลิกด้านล่างของหน้านั้น หรือไม่ลองกูเกิลดูครับ)ได้ดังนี้

สำหรับพื้นที่ผิวทรงกลม(รัศมี r):
ตอนแรกให้เอาทรงกระบอกรัศมีฐาน r สูง 2r มาครอบ แล้วชอยทรงกระบอกตามขวางเป็นแผ่น'บางๆ'หลายๆแผ่น ซึ่งจะได้ว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของแผ่นทรงกระบอกแต่ละชิ้นมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ผิวทรงกลมที่ถูกตัดออกมา
นั่นคือ พื้นที่ผิวของทรงกระบอกเท่ากับพื้นที่ผิวทรงกลมคือ 2pr x 2r=4pr2

ปริมาตรทรงกลม(รัศมี r):
เนื่องจากเราสามารถแบ่งทรงกลมออกเป็นพีระมิดฐานโค้งเล็กๆหลายๆอันที่มีจุดยอดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมและมีพื้นที่ฐานเป็นส่วนหนึ่งขอ งทรงกลม เมื่อเราซอยพีระมิดเหล่านี้'เล็ก'พอ เราสามารถประมาณฐานโค้งๆนี้เป็นฐานเรียบๆได้ ส่วนสูงของพีระมิดย่อยนี้มีค่า(ประมาณ)เป็น r
ดังนั้น ปริมาตร =ผลรวมปริมาตรพีระมิดย่อย=(1/3)p(พื้นที่ผิวทรงกลม)r=(4/3)pr3

กระบวนการดังกล่าวมี error จากการประมาณเสมอ (ซึ่งเกี่ยวข้องกับการที่ p เป็นจำนวนอตรรกยะ) ในคณิตศาสตร์ระดับสูงเราสามารถพิสูจน์สูตรเหล่านี้โดยแคลคูลัสครับ เช่น ปริมาตรทรงกลม $V(r)=\int_0^r 4\pi r^2\ dr$ เป็นต้นครับ

promath 14 มีนาคม 2006 14:49

ขอบคุณครับที่ให้คำแนะนำดีๆ แต่ว่าพอลองไปเปิดในเว็บที่แนะนำมา :o แปลไม่ออกเลยครับ :confused: นี่มีข้อความที่ลอง search หาดู ปรากฏว่าไปเจอเรื่องราวเกี่ยวกับปริมาตรทรงกลม ดังนี้ครับ

ถ้าใครแปลออก ช่วนแปลหรือสรุปเป็นเรื่องเป็นราวให้หน่อยครับ :aah:

promath 14 มีนาคม 2006 15:23

ขอช่วยขยายความในเรื่องของพื้นที่ผิวของทรงกลมอีกหน่อยนะครับ คือว่ายังไม่เข้าใจ เปิดไปดูตามเว็บไซต์ต่างๆ เขาก็ใช้หลักการที่นำทรงกระบอกและกรวยมาเกี่ยวข้องด้วยครับ
http://mathcentral.uregina.ca/qq/dat...artridge1.html :great:
http://www.qc.edu.hk/math/Junior%20Secondary/Sphere.htm :laugh:

nongtum 14 มีนาคม 2006 20:00

จากลิงค์ที่ให้มา ทั้งหมดเป็นการแสดงว่าหากเอาครึ่งทรงกลม กรวยและทรงกระบอกที่มีรัศมีฐานยาว $r$ เท่ากัน กรวยและทรงกระบอกสูง $r$ เอาทรงกระบอกครอบกรวยให้ฐานกรวยอยู่ด้านบน และวางครึ่งทรงกลมให้ฐานของครึ่งทรงกลมอยู่ด้านล่าง จะได้ว่าหลังจาก'ซอย'หน้าตัดขนานกับฐานแล้ว ในแต่ละหน้าตัด

พื้นที่วงแหวนที่ได้จากทรงกระบอกกับกรวย=พื้นที่ของหน้าตัดที่เกิดจากครึ่งทรงกลม

ซึ่งแสดงได้ดังนี้: ณ ความสูง $a$ จากฐานครึ่งทรงกลม มีพื้นที่หน้าตัดเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ (รัศมีหาได้โดยทฤษฎีบทพีทากอรัส)
เนื่องจากรัศมีของหน้าตัดกรวยเท่ากับความสูง $a$ เพราะหากลองผ่ากรวยจากปลายลงมาตามแกนกรวย จะเห็นว่าหน้าตัดที่ได้เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเป็น 45° และส่วนสูง $a$ แบ่งครึ่งมุมยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว(ซึ่งเป็นมุมฉาก) พื้นที่วงแหวนจึงเป็น $\pi\sqrt{r^2-a^2}$ ###

การพิสูจน์ดังกล่าวอาศัยว่า เราทราบปริมาตรของกรวยและทรงกระบอก และข้อเท็จจริงที่ว่าหากพื้นที่หน้าตัดและส่วนสูงมีขนาดเท่ากันปริมาตรจะเท่ากัน ดังนั้น ปริมาตรของครึ่งทรงกลมจึงต้องเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอกหักออกด้วยปริมาตรกรวย

ส่วนพื้นที่ผิวทรงกลม จากที่กล่าวด้านบนหากเรามองว่าในแต่ละส่วนตัด(ที่บางพอ) พื้นผิวเอียงๆด้านข้างของส่วนตัดทรงกลมและทรงกระบอกด้านข้างจะไม่แตกต่างกันมาก (นั่นคือลบกันแล้วได้ค่าใกล้ศูนย์) แต่หากใช้แคลคูลัส จะได้ว่าพื้นที่ผิวด้านข้างของครึ่งทรงกลมเป็น $R^2\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} \sin\varphi\ d\varphi d\theta=2\pi R^2$

promath 16 มีนาคม 2006 15:16

ปัญหาที่ 3 :
$\qquad\quad $ในประเทศฝรั่งเศส นอกจากหอไอเฟล ซึ่งเป็นสถานที่ที่สำคัญแล้ว ยังมีพิพิธภัณฑ์ลูฟว์ (Louvre) ในกรุงปารีส ที่นี่เป็นที่รวบรวมงานศิลปะของศิลปินระดับโลก เช่น ภาพวาดโมนาลิซา ของลีโอนาร์โด ดาวินซี (Leonado da Vinci)
$\qquad\quad $เว็บไซต์แห่งหนึ่งกล่าวถึงอาคารทางเข้าพิพิธภัณฑ์ซึ่งเป็นพีระมิดกระจกไว้ว่า พีระมิดดังกล่าวมีความสูง 21.65 เมตร วัดความยาวของฐานโดยรอบได้ 140 เมตร และมีปริมาตรประมาณ 8,840 ลูกบาศก์เมตร
$\qquad\quad $นาย ก คิดว่าพีระมิดที่ว่านี้เป็นพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่นาย ข ไม่เห็นด้วย และคิดว่าน่าจะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความคิดของใครน่าจะถูกต้อง เพราะเหตุใด :died:


ปัญหาที่ 4 :
$\qquad\quad $ถ้าตัดมุมของลูกบาศก์ทั้งแปดมุมด้วยระนาบให้ผ่านจุดกึ่งกลางขอบของลูกบาศก์ตามรอยเส้นประ ดังแสดงในรูป จะได้รูปเรขาคณิตสามมิติ 14 หน้าชนิดหนึ่ง เรียกว่า คิวบอกตะฮีดรอน (Cuboctahedron) ที่มีหน้า 6 หน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อีก 8 หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ปริมาตรของคิวบอกตะฮีดรอนเป็นกี่เท่าของลูกบาศก์เดิม

(ขอแก้ไขรูปภาพหน่อยนะครับ ถ้าใครมีความคิดอะไรเพิ่มเติม ก็โพสท์ลงบอร์ดได้นะครับ อย่าลืมซ่อนคำตอบไว้ด้วยนะครับ เดี๋ยวคนอื่นเห็น อิ..อิ.. :D คุณ nongtum ผมคิดว่าข้อ 4 ผมมีความคิดเห็นที่ต่างออกไปนะครับ แต่ลืมเเล้วว่าคิดยังไง เดี๋ยวขอกลับไปจูนเครื่องก่อนนะครับ)

nongtum 16 มีนาคม 2006 20:44

คำถามไม่ยากครับ แต่เนื้อหาคำถามน่าสนใจดี ขอละวิธีคิดละกันนะครับ
(แก้ไขคำตอบข้อ 4)

promath 18 มีนาคม 2006 14:31

สำหรับแนวความคิดปัญหาที่ 4 ของผมและเพื่อนๆ ที่ไปช่วยกันคิดมีดังนี้ครับ (ไม่รู้ว่าถูกป่าว)

nongtum 19 มีนาคม 2006 19:28

คุณ promath ตอบถูกแล้วครับ ผมนับจำนวนมุมที่ตัดผิดไปเอง ข้อนี้อาจคิดง่ายๆบรรทัดเดียวจบได้ดังนี้:
$$\text{Volume}=\text{total}-\text{cut}=1-8\cdot\frac{1}{3}\cdot(\frac{1}{2})^4=\frac{5}{6}$$


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:06

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha