โจทย์ Algebra
ช่วงนี้ไม่ค่อยมีโจทย์ใหม่เลย
เอาไปข้อนึงละกัน จงแก้สมการ $$[(x^2+x+1)^3-(x^2+1)^3-x^3] [(x^2-x+1)^3-(x^2+1)^3+x^3]= 3[(x^4+x^2+1)^3-(x^4+1)^3-x^6]$$ คือว่าข้อนี้มันทำได้หลายวิธีครับ เลยอยากให้ลองหาวิธีที่สั้นๆดู :D :D :D |
อ้างอิง:
$$(x^2+x+1)^3-(x^2+1)^3-x^3=(x^2+x+1)^3+(-x^2-1)^3+(-x)^3=3(x^2+x+1)(-x^2-1)(-x)\,.$$ Similarly, $$(x^2-x+1)^3-(x^2+1)^3+x^3=3(x^2-x+1)(-x^2-1)x$$ and $$(x^4+x^2+1)^3-(x^4+1)^3-x^6=3(x^4+x^2+1)(-x^4-1)(-x^2)\,.$$ Consequently, the given equation is equivalent to $$(x^2+x+1)(x^2+1)x\cdot (x^2-x+1)(x^2+1)x+(x^4+x^2+1)(x^4+1)x^2=0\,.\tag{*}$$ Now, as $$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1)\,,$$ (*) can be further reduced to $$(x^2-x+1)(x^2+x+1)x^2\big((x^2+1)^2+(x^4+1)\big)=0\,.$$ Hence, $$(x^2-x+1)(x^2+x+1)x^2(2x^4+2x^2+2)=0\,.$$ That is, $$2(x^2-x+1)^2(x^2+x+1)^2x^2=0\,.$$ Thus, there is a unique real solution $x=0$. There are however four complex solutions $$x=\frac{\pm1\pm\sqrt{-3}}{2}\,.$$ Note that each of the real and the complex solutions above occurs with multiplicity $2$. |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 20:18 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha