โจทย์คณิตในIndian?National?Junior?Science?Olympiad ?
 

ไม่มีเฉลย พอดีเห็นเลยเอามาลงไว้เผื่อจะมีคนสนใจ

1.(2011)จงหาเลขหลักหน่วยของ $1!+2!+3!+...+95!$

2.(2011) จงพิสูจน์ว่า กำลังสองของจำนวนธรรมชาติ(จำนวนนับ) เมื่อถูกหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษเป็น 0 หรือ1

3.(2011) จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $n!+2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

4.(2012) จงพิสูจน์ว่า มีจำนวนกำลังสองสัมบูรณ์นับไม่ถ้วนที่ลงท้ายด้วย $444$

5.(2012) เมื่อ $A,B,C$ เป็นเลขโดด(0-9)ที่ต่างกัน จงหาว่ามี$A,B,C$ กี่จำนวนที่ทำให้$ABA\times C=BCC$

6.(NSEJS_2008-2009)
จงหาค่าของ $(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)$

7.(NSEJS_2008-2009) ถังทรงกระบอก มีรัศมี 6 ซม.และมีไอศครีมสูงเท่ากับ $h$ ซม. ตักแบ่งใส่กรวยไอติมที่มีรัศมีของโคนเท่ากับ $3$ ซม.โดยให้ส่วนบนสุดเป็นรูปครึ่งวงกลม(ตักแล้วทำยอดเป็นครึ่งวงกลม)และกรวยมีความสูงเท่ากับ $12$ ซม. ตักให้เด็กได้ 10 คนพอดี จงหาว่าค่า $h$ เท่ากับกี่ซม.

8.(NSEJS_2008-2009) สามเหลี่ยมหน้าจั่ว(isosceles triangle)ที่มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม จะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วกี่แบบที่มีความยาวในแต่ละด้านไม่เกิน $4$

9.(NSEJS_2008-2009)

จากรูปข้อใดถูก
1.$\alpha +\beta =110^\circ $
2.$\alpha=\beta=55^\circ $
3.$\theta =110^\circ $
4.$\theta =140^\circ$

10.(NSEJS_2009-2010)

จากรูป วงกลมวงใหญ่มีรัศมีเท่ากับ $1$ หน่วย จงหาค่าของรัศมีวงกลมลงเล็ก

ดูผิดครับ:blood:

ชุดที่2
1.(NSEJS_2009-2010)
เมื่อ $D=a^2+b^2+c^2$ โดยที่ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ต่อกัน และ $c=ab$ แล้ว ข้อใดถูก
1).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็มคู่เสมอ
2).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็มคี่เสมอ
3).$\sqrt{D} $ เป็นจำนวนเต็ม ที่อาจเป็นจำนวนคี่หรือคู่
4).$\sqrt{D} $ บางครั้งเป็นจำนวนอตรรกยะ

2.(NSEJS_2009-2010)
ถ้า $a^2+2b=7,b^2+4c=-7$ และ $c^2+6a=-14$ จงหาค่าของ $a^2+b^2+c^2$

3.(NSEJS_2009-2010)
จงหาค่าของ
$\cot^2\theta \left[\,\frac{\sec\theta -1}{1+\sin \theta } \right]+\sec^2\theta \left[\,\frac{\sin \theta -1}{1+\sec\theta } \right] $

4.(NSEJS_2009-2010)
สี่เหลี่ยมมุมฉาก $ABCD$ ซึ่งมีความยาวด้าน $AB,BC,CD,DA$ เท่ากับ $(5x+2y+2)$ ซม. , $(x+y+4)$ ซม. ,$(2x+5y-7)$ ซม. ,$(3x+2y-11)$ ซม. ข้อใดถูก
1).มีด้านหนึ่งยาวเท่ากับ 14 ซม.
2)เส้นทะแยงมุมแต่ละเส้นยาวเท่ากับ $39$ ซม.
3)เส้นรอบรูปของสี่เหลี่ยมเท่ากับ $102$ ซม.
4)สี่เหลี่ยมนี้มีพื้นที่ $560$ ต.ร.ซม.

5.(NSEJS_2008-2009)
สมามเหลี่ยม $ABC$ มีจุด $L,M,N$ เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน $AB,BC,CA$ ตามลำดับ ถ้าสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับ $48$ หน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $LMN$

6.(NSEJS_2011)
จงหาค่าของ $\sin^8\theta+\csc^8\theta$ เมื่อ $\sin\theta+\csc\theta=2$

7.(NSEJS_2011)
สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวแต่ละด้านเป็นจำนวนเต็ม เมื่อ $AB=2001$ และ $BC=1002$ หน่วย แล้วจงหาว่ามีสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมดกี่รูป

8.(NSEJS_2011)
ลำดับหนึ่งที่ใช้เลขฐานสี่เป็นดังนี้ $1,2,3,10,11,12,13,20,21,...$ จงหาเลขในลำดับที่20

9.(NSEJS_2011)
ถ้า $4a-18b+13c=0$ และ $3a+3b-4c=0$ จงหาอัตราส่วนของ $a:b:c$

10.(NSEJS_2011)
จงหาจุดต่ำสุดของกราฟ $y=2x^2+4x+3$

ข้อ 1 ครับ
เนื่องจาก ตั้งแต่ $5!$ ขึ้นไปจะลงท้ายด้วย $0$ ทุกตัว
เลขหลักสุดท้ายได้จาก $1!+2!+3!+4!=33$
ดังนั้น เลขหลักหน่วย คือ $3$

ได้ $n=2$ แต่ไม่แน่ใจว่ามีอีกหรือไม่
เพราะ $n=1,3,4$ ไม่ทำให้ $n!+2$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
$n\geqslant 5$ จะลงท้ายด้วย $2$ เสมอ ซึ่งไม่มีเลขใดยกกำลังสองแล้วลงท้ายด้วย $2$ เลย

$(1-\tan A+\sec A)(1-\cot A+\csc A)=1-\frac{1}{tanA}+\frac{1}{sinA}-tanA+1-\frac{1}{cosA}+\frac{1}{cosA}-\frac{1}{sinA}+\frac{1}{sinAcosA}$
$=2-(\frac{1}{tanA}+tanA)+\frac{1}{sinAcosA}=2-\frac{1}{sinAcosA}+\frac{1}{sinAcosA}=2$

ชุดแรก

ข้อ2)รูปทั่วไปของจำนวนนับแบ่งเป็นเลขคู่คี่ดังนี้

$\frac{(2n)^2}{4}=n^2$ลงตัว$\therefore $เศษ $0$

$\frac{(2n-1)^2}{4}=\frac{4n^2}{4}-\frac{4n}{4}$หารลงตัวเหลือพจน์สุดท้ายเศษ1

ข้อ4)$(1000n+462)^2=...444$โดยที่$n=0\rightarrow \propto $

ชุดที่2

ข้อ1) ตอบ $\sqrt{D} $ เป็นจำนวนคี่

เพราะ $a,b$ตัวใดตัวหนึ่งเป็นคี่ $a^2+b^2$เป็นคี่ และ $c=ab$ $c$ เป็นคู่ $c^2$จึงเป็นคู่

ดังนั้น $D$เป็นจำนวนคี่ $\sqrt{D}$ จึงเป็นจำนวนคี่ด้วย

ข้อ4)$\quad2,3$ ถูก

วิธีทำ นำทุกสมการบวกกันหมดจะได้

$(a+3)^2+(b+1)^2+(c+2)^2=0$

จะได้ $a=-3,b=-1,c=-2$ เเทนค่าเเล้วพบว่าจริง

ดังนั้น $a^2+b^2+c^2=14$

ตอบ $\theta =110^\circ $ และ $\alpha +\beta =110^\circ $

วิธีทำ จำนวนนับเเบ่งออกเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่

$1.$ $x=2k$ บาง $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ $x^2=4k^2$ ซึ่งหารด้วย $4$ เศษ $0$

$2.$ $x=2k+1$ บาง $k$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก

จะได้ $x^2=4k^2+4k+1$ ซึ่งหารด้วย $4$ เศษ $1$

ใช้ทฤษฎีจากข้อ $2$ ว่า จำนวนนับกำลังสองหารด้วย $4$ เศษ $0,1$

วิธีทำ พิจารณา $n\geqslant 5$ จะได้ $n!+2$ หารด้วย $4$ เศษ 2 ซึ่งไม่เป็นกำลังสอง

ดังนั้น $n\leqslant 4$ เเทนค่าได้ $n=2$ ตัวเดียว

$\sin\theta+\csc\theta=\sin\theta+\frac{1}{\sin\theta}=2$

จะได้ $\sin\theta=1$

ดังนั้น $\sin^8\theta+\csc^8\theta=1+1=2$

วิธีทำ สามเหลี่ยมทั้ง $4$ รูปที่เกิดขึ้นเท่ากันทุกประการดังนั้น $[LMN]=12$

วิธีทำ

$y=2x^2+4x+3$

$y'=4x+4=0$

$x=-1$

ดังนั้น $y=1$

ตอบ $(-1,1)$

Attachment 8066


จากรูปจะได้ $2r^2=(1-r)^2$

เเกได้ $r=\sqrt{2}-1$

8(ตอน 2).ถ้าแปลงเป็นเลขฐานสิบ ลำดับจะได้เป็น 1,2,3,4,5,6... ดังนั้นลำดับที่ 20 =20
แปลง 20 ให้อยู่ในระบบฐานสี่ = $110_4$
ตอบ 110