Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=32)
-   -   ข้อสอบแข่งขันวิชาการนานาชาติ ปี 2553 รอบที่ 1 (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12620)

OLYMATHS 18 ธันวาคม 2010 05:46

ข้อสอบแข่งขันวิชาการนานาชาติ ปี 2553 รอบที่ 1
 
1 ไฟล์และเอกสาร
ผมได้ข้อสอบแข่งขันวิชาการนานาชาติจาก ชมรมครูแกนนำคณิตศาสตร์
จึงนำข้อสอบมาฝากครับ ขออัญเชิญท่านทวยเทพทั้งหลายได้มาทำเฉลยด้วยครับ

OLYMATHS 18 ธันวาคม 2010 06:02

2 ไฟล์และเอกสาร
ตอนที่ 2 ข้อสอบวิชาการนานาชาิติ

OLYMATHS 18 ธันวาคม 2010 06:08

3 ไฟล์และเอกสาร
ตอนที่ 3 ข้อสอบวิชาการนานาชาติ


ส่วนไฟล์ต้นฉบับตามลิงค์ด้านล่างนี้นะครับ

http://www.mtm1.ob.tc/Obec/obec_M3_2553.PDF

iMsOJ2i2y 18 ธันวาคม 2010 11:45

อ้างอิง:

ข้อ 9 ถ้า m หารด้วย 10 เหลือเศษ 5 และ n หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 แล้ว 3m-2n หาร 5 เหลือเศษ p จงหาค่าของ p+3
จากวิธีการขั้นตอนการหารจะได้ว่า
$m=10q_1+5$
$n=10q_2+2$
เมื่อ $q_1,q_2$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ว่า
$3m=30q_1+15=(30q_1+10)+5=10(3q_1+1)+5=10q_3+5$ เมื่อ $q_3=3q_1+1$
$2n=20q_2+4=10(2q_2)+4=10q_4+4$ เมื่อ $q_4=2q_2$
นำ $3m-2n$ จะได้ว่า
$3m-2n=(10q_3+5)-(10q_4+4)=5(2(q_3-q_4))+1=5q_5+1$ เมื่อ $q_5=2(q_3-q_4)$
จากขั้นวิธีการหารจะได้ว่า 3m-2n หารด้วย 5 เหลือเศษ 1 จึงได้ว่า $p=1$
$\therefore p+3=1+3=4$ :great:

iMsOJ2i2y 18 ธันวาคม 2010 11:50

อ้างอิง:

ข้อ 12 จงหารากของสมการ $\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}-x=0$
$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}-x=0$
$\sqrt{x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}}=x$
$x^2+2x-2\sqrt{x^2-2x+10}=x^2$
$2x=2\sqrt{x^2-2x+10}$
$4x^2=4(x^2-2x+10)$
$4x^2=4x^2-8x+40$
$8x=40$
$x=5$ :great:

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 12:06

6.$A=x^2+3x+9 = (x^2+9)+3x$
$B=x^2-3x+9= (x^2+9)-3x$
$AB= (x^2+9)^2-9x^2=x^4+9x^2+81$
$a+b+c=1+9+81=91$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 12:09

8.$x=\sqrt{\frac{6}{7} } \quad \frac{1}{x} =\sqrt{\frac{7}{6} } $
$(x+ \frac{1}{x})^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2 $
$=\frac{6}{7}+\frac{7}{6}+2 $
$=\frac{169}{42} $
$42(x+ \frac{1}{x})^2= 169$

BLACK-Dragon 18 ธันวาคม 2010 13:16

ข้อ 21 ลองมองรุปดีๆ มันจะเป็นของ สี่เหลี่ยมจตุรัส 1 รูปกับ วงกลม 2 วงกลม
สี่เหลี่ยมจตุรัสด้านยาวด้านละ 14
วงกลมรัศมีเท่ากับ 7
พ.ท.ทั้งหมด = 2*พ.ท.วงวกลม+พ.ท.สี่เหลี่ยมจตุรัส
$=2(\Pi7^2)+14^2$
$=2(154)+196$
$=504$
504 ต.ร.ซม.
ใช่ไหมครับ

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 13:18

19.$x^3-3x^2+kx-12=(x-a)(x-b)(x-c)=0$
$ab=\quad -6$
$abc=\quad 12 \rightarrow c = \quad -2$
$a+b+c=3,\quad a+b=5, \quad ab=-6$
$k=ab+bc+ac$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$
$a^2+b^2=25+12=37$
$k=\frac{9-4-37}{2} = \quad -14$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 13:31

27.$A=1!+2!+3!+..+99!+100!$
ข้อสังเกตคือ $5!=120$...หลักหน่วยเป็นเลขศูนย์ ดังนั้นตั้งแต่$5!$ไป ผลบวกลงท้ายด้วยศูนย์แน่นอน
ดังนั้นหลักหน่วยเกิดจากผลบวกของ$1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33$
ต่อไปหาเลขในหลักสิบ ข้อสังเกตคือ หาพจน์ที่มีผลคูณลงท้ายด้วย$00$ ซึ่งหลังจาก$5!$ ไปจะมีผลคูณที่มีเลข$10$ อีกทีก็คือ $10!$ ดังนั้นหลักสิบก็คือผลบวกตั้งแต่$1!+2!+3!+...+9!$
$=33+120+720+5040+40320+....180$
$=....13$
$C=3,D=1 \rightarrow C-D=2$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 13:40

9.ให้$m=15,n=12$........วิธีนี้จำมาจากอาBankerครับ
$3m-2n=45-24=21$...หารด้วย5 เหลือเศษ 1
$p+3=4$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 13:44

20.$y=k+2x$....นำไปแทนในสมการวงกลม
$x^2+(k+2x)^2=20$
$5x^2+4kx+k^2-20=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเพียงค่าเดียวเมื่อ $b^2-4ac=0$
$16k^2-4(5)(k^2-20)=0$
$-4k^2+20\times 20=0$
$4k^2-20\times 20=0$
$(2k+20)(2k-20)=0$
ค่า $k$ ที่เป็นบวกคือ $10$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 14:02

23.ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน มีจำนวนวิธีในการขึ้นหน้าเท่ากับ$6\times 6\times 6$....คิดแบบนี้คือให้แต่ละลูกเต๋านั้นต่างกัน
จำนวนวิธีที่ผลรวมหน้าลูกเต๋าเท่ากับ $14$
เราให้หน้าเต๋าลูกหนึ่งเป็น$1,2,3,4,5,6$ แต่หน้าลูกเต๋าเป็น $1$ ไม่ได้ เพราะที่เหลือสองลูกรวมกันได้แค่ $12$
คิดง่ายๆเขียนออกมาได้ว่า
ลูกแรกขึ้นหน้า $2$ เขียนเป็น$(2,6,6)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $3$ เขียนเป็น$(3,6,5)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $4$ เขียนเป็น$(4,4,6),(4,5,5)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $5$ เขียนเป็น$(5,5,4),(5,3,6)$
ลูกแรกขึ้นหน้า $6$ เขียนเป็น$(6,2,6),(6,3,5),(6,4,4)$
คัดเหลือแบบที่ไม่ซ้ำกันได้คือ $(2,6,6),(3,6,5),(4,4,6),(4,5,5)$....ลองดูว่าแต่ละแบบเขียนเรียงสลับตำแหน่งได้ทั้งหมดเ่ทาไหร่
$(2,6,6)$....เขียนได้ 3 แบบ
$(3,6,5)$....เขียนได้ 6 แบบ
$(4,4,6)$....เขียนได้ 3 แบบ
$(4,5,5)$....เขียนได้ 3 แบบ
รวมกันได้ $15$ แบบ
ความน่าจะเป็นที่ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกันแล้วได้ผลรวมของแต้มเท่ากับ 14 เท่ากับ$\frac{15}{216}=\frac{5}{72} $

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 14:07

22.$3x^2+kxy-2y^2-7x+7y-6$....เราลองแยกเป็นสมการเส้นตรงสองสมการโดยยังไม่ต้องสนใจสัมประสิทธิ์ของ$xy$
จะได้ว่าเท่ากับ$(3x-y+2)(x+2y-3)$
แล้วกระจายกลับจะได้ $k=5$

กิตติ 18 ธันวาคม 2010 14:16

18.สร้างเลข3หลักที่เป็นคู่บวกจาก $0,2,3,4,5,6,7$ โดยใช้เลขไม่ซ้ำกัน
ดังน้นหลักหน่วยเป็นเลข$0,2,4,6$
หลักหน่วยเป็นเลข $0$ ลองเขียนอีกสองหลักได้ทั้งหมด $30$ แบบ
หลักหน่วยเป็นเลข $2,4,6$ ลองเขียนอีกสองหลักได้ทั้งหมด $24$ แบบ รวมได้$24\times 3=72$ แบบ......แก้ใหม่เป็น $25$ แบบ ดังนั้นรวมได้$75$
รวมทั้งสองกรณีได้เท่ากับ$72+30=102$ จำนวน...แก้ใหม่เป็น$105$

ขอบคุณครับที่ช่วยเช็คให้ครับ


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:10

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha