โจทย์ จำนวนเชิงซ้อนยากช่วยทีครับ
กำหนดZเป็นจำนวนเชิงซ้อน เเละ lZ-2i l=1 จงหาค่าmaximumของarg(Z)
|
ลองดูวงกลมหนึ่งหน่วย จุดศูนย์กลาง $(0,2)$ |
ให้ $\;z=x+yi$ และ $y=xtan\theta,\quad\theta=\rm{arg}(z) $
จาก$\;|z-2i|=1$ จะได้ $$\begin{array}{rcl} x^2+(y-2)^2&=&1\\ x^2+(x\tan\theta-2)^2&=&1\\ x^2+x^2\tan^2\theta-4x\tan\theta+4-1&=&0\\ (1+\tan^2\theta)x^2-(4\tan\theta)x+3&=&0\\ \because \rm{discriminant}=b^2-4ac\geqslant 0\\ \therefore (-4\tan\theta)^2-4(1+\tan^2\theta)\times 3&\geqslant &0\\ 16\tan^2\theta-12-12\tan^2\theta&\geqslant& 0\\ 4\tan^2\theta&\geqslant &12\\ \tan^2\theta&\geqslant &3\\ \therefore \tan\theta\geqslant \sqrt{3} &\vee& \tan\theta\leqslant -\sqrt{3} \end{array}$$ จะได้ค่ามากสุดของ $\arg(z)=\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$ แต่ผมลองเช็คดูแล้วพบว่าผมทำผิด (คำตอบที่ถูกน่าจะเป็น$\frac{7\pi}{6}$) ผมทำผิดขั้นตอนไหนหรอครับ? |
arctan เป็นฟังก์ชันที่นิยามให้เรนจ์อยู่แค่ $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ แต่มุมที่ทำให้ค่า tan เป็น $\sqrt{3},-\sqrt{3}$ ไม่ได้มีอยู่แค่ $(\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
ถ้าตาม Hint ของ Amankris ลองวาดรูปดู จะเห็นเลยว่า z อยู่ได้ไม่กี่ควอตแดรนต์ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:48 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha