ข้อสงสัยเกี่ยวกับ Sigma Algebra and Measure Thoery
 

กระทู้นี้ขออนุญาตเอาไว้ถามปัญหาที่ผมงงละกันนะคับ ข้อสงสัยเยอะ รบกวนผู้รู้ช่วยกันตอบด้วยนะครับ

จากนิยมของ พีชคณิตซิกมา
ความหมายของ F is a nonempty collection of subsets of X จะหมายถึง เพาเวอร์เซตกรณี X เป็นเซตจำกัดใช่รึเปล่าครับ
เช่น \( X=\{ a,b \} \) จะได้ว่า \(F= \{ \phi ,\{ a\} ,\{ b \},\{ a,b \} \} \)
ก็คือถ้าเซต X ของเราเป็นช่วงของจำนวนจริง เช่น \( X=(-\infty,\infty) \)
F จะมีหน้าตาเป็นอย่างไรครับ ??
ผมคิดว่าแบบนี้ถูกต้องไหม ? \( F =\{ (a,b) : a<b , a,b \in X \} \)
ในหนังสือบางเล่มใช้สัญลักษณ์ \( P(X) \) แทน \( F \)
\( P(X) \) ในที่นี้ ไม่ได้หมายถึงเฉพาะเพาเวอร์เซตแบบมัธยมใช่รึเปล่าครับ??

ข้อ 1 ไม่จำเป็นเสมอไปครับ sigma algebra ที่เล็กที่สุดก็คือ $\{\emptyset,X\}$ ส่วน sigma algebra ที่ใหญ่ที่สุดคือ power set ของ X ครับ < เช่นเดียวกับ topology ของเซต >
และ sigma algebra ที่น่าสนใจก็ไม่ใช่สองเซตนี้ครับ :p

ข้อ 2 $F$ ยังไม่ใช่ sigma algebra ครับ เพราะ $(0,1)\cup (1,2)$ ไม่ได้อยู่ใน $F$ แต่สามารถนำมา generate sigma algebra ได้ครับ sigma algebra ที่ได้จาก $F$ เรียกว่า Borel sigma algebra

ข้อ 3 ไม่แน่ใจครับ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์ $P$ จะถูกจองไว้ให้ power set แต่อาจจะหมายถึง Probability measure ด้วยครับ :sung:

รู้สึกจะเข้าใจผิดอยู่หลายจุดแหะๆ ต่อไปที่สงสัยคือ Borel sigma algebra น่ะแหละครับ

ในกรณีที่ \( X=R \) และ \( T \) เป็นวงศ์ของเซตเปิดบน \( R \) จะได้ว่ามีพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด \( B \) ซึ่งก่อกำเนิดโดย \( T \) เราจะเรียกพีชคณิตซิกมา \( B \) นี้ว่า พีชคณิตซิกมาโบเรล(Borel sigma algebra) และเรียกเซตใน B ว่า เซตโบเรล(Borel set) ซึ่งจากนิยามของเซตโบเรลจะได้ว่า เซตเปิด และ เซตปิด ใน R จะเป็นเซตโบเรล

คำถาม
1. พีชคณิตซิกมาโบเรล มีหน้าตาเป็นยังไงอ่ะคับมองภาพไม่ออก ?? :( แล้ว วงศ์ของเซตเปิดหมายถึง ?
2. พีชคณิตซิกมาโบเรล มีเพื่อยืนยันว่า ช่วงในจำนวนจริงสามารถหาเมเชอร์ได้ ใช่รึเปล่าครับ?
เพราะปกติไม่สามารถหาเมเชอร์บนเซตอนันต์ทั่วไปได้ รวมถึง \(R^n \) ด้วย :confused:
มีเหตุผลอื่นอีกรึเปล่าเอ่ย ??

ข้อ 1 ยังไม่เคยเห็นหน้าตาของเขาเหมือนกันครับ เอาไว้เจอกันแล้วจะถ่ายรูปมาฝาก :laugh: :laugh: บอกได้คร่าวๆครับว่าเขามีสมาชิกหน้าตายังไงบ้าง เช่น open set, closed set, $F_{\sigma}$ - set , $G_{\delta}$- set เป็นต้น

สับเซตของจำนวนจริงส่วนใหญ่ที่เรารู้จักกันก็เป็น Borel set เกือบทั้งนั้นครับ และเวลาเราใช้
งานกันจริงๆเราก็จะเล่นกับพวกเซตเปิดและเซตปิดมากกว่าครับ เราจึงไม่ต้องไปสนใจหน้าตาของ Borel set ซักเท่าไหร่

Remark :
1. $F_{\sigma}$ - set คือ เซตซึ่งเกิดจาก countable union ของ closed set เช่น $\displaystyle{\mathbb{Z} = \bigcup_{n=-\infty}^{\infty} \{n\}}$ เป็น $F_{\sigma}$ - set

2. $G_{\delta}$- set คือ เซตซึ่งเกิดจาก countable intersection ของ open set เช่น complement ของ $F_{\sigma}$ - set จะเป็น $G_{\delta}$- set ครับ

วง (Ring) เป็นโครงสร้างทางพีชคณิตแบบหนึ่งครับ มีการดำเนินการสองตัวซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ +, $\times$ แต่ในที่นี้ เซตของเซตเปิดใน $\mathbb{R}$ จะเป็น ring ภายใต้การดำเนินการของเซตสองอย่างคือ union (+) กับ intersection ($\times$) ครับ

ข้อ 2 ไม่แน่ใจครับ คิดว่า sigma algebra น่าจะเกิดหลังจาก Lebesgue คิดค้น Lebesgue measure แล้วนะครับ อันนี้คงต้องศึกษา chronology ของ measure theory เอาครับ แต่ตามที่พี่เข้าใจมาคือ abstract measure theory ถูกพัฒนาขึ้นมาจาก Lebesgue measure theory อีกทีครับ พวก axiom ต่างๆของ abstract measure ก็ดัดแปลงมาจากคุณสมบัติที่เราพบใน Lebesgue measure น่ะครับ

เริ่มจะค่อยๆเข้าใจแล้วครับ (รึเปล่า??) เอาเป็นว่าช่วงเปิดหาเมเชอร์ได้ก็แล้วกันครับ อิอิ จำเอาดื้อๆ
ต่อไป
หลักการหาปริพันธ์เลอเบกก็คือเราจะแบ่งเซตออกเป็นช่วงย่อยๆ ที่สามารถหาเมเชอร์ได้ และ แทนค่าฟังก์ชันด้วยฟังก์ชันอย่างง่าย ใช่รึเปล่าครับ ?? เช่น
\[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} 1 & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ 0 & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย และจะได้ค่าปริพันธ์เลอเบกเป็น
\[ \int _{[0,1]} f \; d \; \mu = 1 \cdot \mu \{Q \cap [0,1] \} + 0 \cdot \mu \{ Q \prime \cap [0,1] \} = 0 \]

ฝากโจทย์ไว้ 2 ข้อคับ ผมลองทำแล้วอยากเช็คคำตอบ แล้วก็แนวคิดด้วยคับ
จงหาค่าปริพันธ์ \( \int _{A} f \; d \mu \) เมื่อ
1. \( A=[0,\infty) \) และ \( f(x) = e^{-[x]} \)
วิธีทำของผมคือแบ่ง \(A= \{0\} \cup (0,1) \cup \{ 1 \} \cup (1,2) \cup \{ 2 \} ... \)
แล้ว f ในแต่ละช่วงจะเป็น step function ซึ่งได้คำตอบคือ \( \frac{e}{e-1} \)
2. \( A=[0,1] \) และ
\[ f(x) =\biggl\{ \begin{array}{rcl} \cos x & ; & x \in Q \\ \sin x & ; & x \in Q \prime \end{array} \]
อันนี้ไม่มั่นใจครับรอเฉลย อิอิ

แล้วขอตัวอย่างโจทย์ที่ f ไม่เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย หรือว่า เป็นฟังก์ชันแบบอื่นๆรึเปล่าครับ แหะๆ พร้อมวิธีคิดด้วยจะดีมากเลยคับ หรือจะเป็นเวบให้ศึกษาก็ได้ครับ ขอบพระคุณล่วงหน้าเลยคร้าบ

ฟังก์ชันที่เอามาให้ดูเป็น simple ฟังก์ชันน่ะครับ มันเลยหาค่าอินทิกรัลได้ทันที แต่ถ้าฟังก์ชันมันซับซ้อนขึ้นก็คงต้องทำตามนิยามของ Lebesgue integral ครับ ซึ่งค่อนข้างจะยุ่งยากในการคำนวณ

ส่วนโจทย์สองข้อหลัง ข้อแรกถูกแล้วครับ ส่วนข้อสอง

$\displaystyle{\int_{[0,1]}f(x) \ dx = \int_{Q\cap [0,1]} \cos{x} \ dx + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= 0 + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= \int_{Q\cap [0,1]} \sin{x} \ dx + \int_{[0,1]\setminus Q} \sin{x} \ dx}$
$\displaystyle{= \int_{0}^{1} \sin{x} \ dx}$

เพราะว่า $Q$ มี Lebesgue measure 0 ครับ

โจทย์ที่พี่มีส่วนใหญ่จะเป็นโจทย์พิสูจน์มากกว่าน่ะครับ ลองเอาข้อนี้ไปทำดู

กำหนดให้ $f(x) = x$ ถ้า $x$ อยู่ในรูป $\frac{1}{n}$ หรือ $\frac{n+1}{n}$ และ $f(x) = x^2$ สำหรับกรณีอื่น จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{[0,2]} f(x)} dx$

ครับ รบกวนพี่ noonuii ต่อแหะๆ
เหมือนที่คิดครับ งั้นแสดงว่า
1. ฟังก์ชันทั้งสองข้อ นั้น หาปริพันธ์รีมันน์ได้ ใช่รึเปล่าครับ ??
ข้อแรกนั้นไม่ต่อเนื่องแน่ๆ เป็น step function แต่ต่อเนื่องเป็นช่วง ?? เลยหาปริพันธ์รีมันน์ได้
แล้วข้อสอง มันต่อเนื่องรึเปล่าคับสงสัย ??

2. แล้วที่พี่ว่า "ถ้าฟังก์ชันมันซับซ้อนขึ้นก็คงต้องทำตามนิยามของ Lebesgue integral ครับ ซึ่งค่อนข้างจะยุ่งยากในการคำนวณ" แสดงว่าทั่วๆไปโจทย์มักไม่ยุ่งยากขนาดนั้น เลยมักจะเป็น simple function ใช่รึเปล่าครับ ?? หรือไม่ก็สามารถแบ่งให้เป็นช่วงที่เป็น simple function ได้
เพราะทั่วๆไป เวลาเราใช้ฟังก์ชันมักไม่พิสดารขนาดนั้นอยู่แล้ว คือมักจะใช้ปริพันธ์รีมันน์ได้ ไม่งั้นคำนวณยากไป แต่ปริพันธ์เลอเบกจึงมีเพื่อความบริบูรณ์ของปริภูมิ ??

3. มีตัวอย่างฟังก์ชันที่ไม่เป็น simple function แต่ใช้นิยามรึเปล่าครับ ??
แต่ ถ้าฟังก์ชันมันไม่เป็น simple function ขึ้นมาก็จะใช้ ทฤษฏีบท การลู่เข้าทางเดียว กับ การลู่เข้าแบบถูกครอบงำ มาช่วยแทนการใช้นิยาม (ผมเข้าใจถูกไหมครับ??)

ปล. แบบฝึกหัดจะลองทำดูนะครับ ทฤษฏีบท การลู่เข้าทางเดียว กับ การลู่เข้าแบบถูกครอบงำ อีก ยังอ่านไม่ถึง ถ้าสงสัยแล้วจะถามต่อคับอิอิ

แตกประเด็น เล็กน้อย เกี่ยวกับการหาปริพันธ์รีมันน์

ทฤษฏีบท : Lebesgue's Integrability criterion
ให้ \( f : [a,b] \rightarrow R \) เป็นฟังก์ชันมีขอบเขตบน \( [a,b] \) จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์รีมันน์ได้ ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเกือบทุกแห่งบน [a,b]

ฟังก์ชันต่อไปนี้ที่มีสมบัติดังกล่าว ใช่ไหมครับ?
1. ฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่วงๆ และมีขอบเขต ที่มีจุดไม่ต่อเนื่องเป็นจำนวนจำกัด ??
2. ฟังก์ชันอย่างง่าย simple function ??
3. ฟังก์ชันดีริคเลต \[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} 1 & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ 0 & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
ซึ่งในข้อ 3. ผมสงสัยว่า ในตัวอย่างบอกว่าหาปริพันธ์รีมันน์ไม่ได้เพราะไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุด ?? แต่จาก criterion ข้างบนจะกล่าวได้ว่าหาปริพันธ์รีมันน์ได้ ?? เอ๊ะ งง :(
หรือว่าในตอนที่บอกว่าฟังก์ชันหาปริพันธ์รีมันน์ไม่ได้นั้น ยังไม่ถือว่ามีปริพันธ์เลอเบกเลยหาไม่ได้ แต่ตอนหลังพบว่าหาได้

ถ้าเราใช้ทฤษฏีบทนี้ ก็จะได้ว่า มีฟังก์ชัน \( g(x) = 0 \; ; \; x \in [0,1] \)
ซึ่ง f = g เกือบทุกแห่งบน [0,1] จะได้ว่า \[ \int_{[0,1]} f \; d\mu = \int_0^1 g dx = 0 \] ได้คำตอบเดียวกันกับใช้นิยาม แบบนี้ถูกไหมครับ
และทำนองเดียวกัน ก็จะได้ว่า
\[ f(x) = \biggl\{ \begin{array}{rcl} \cos x & ; & x \in Q \cap [0,1] \\ \sin x & ; & x \in Q \prime \cap [0,1] \end{array} \]
มีฟังก์ชัน \( g(x) = \sin x \; ; \; x \in [0,1] \)
ซึ่ง f = g เกือบทุกแห่งบน [0,1] จะได้ว่า \[ \int_{[0,1]} f \; d\mu = \int_0^1 \sin x dx \] ซึ่งง่ายกว่าใช้นิยาม เพราะนิยามคำนวณยาก

แต่ทฤษฏีบทนี้บอกว่าถ้าฟังก์ชันสอดคล้องเงื่อนไขสามารถหาปริพันธ์รีมันน์ได้ และ จะเท่ากับปริพันธ์เลอเบก แต่ไม่ได้บอกว่าถ้าฟังก์ชันไม่สอดคล้องกับเงื่อนไข จะไม่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ ?? แสดงว่าถ้าฟังก์ชันไม่สอดคล้องเงื่อนไขนี้ อาจจะหาปริพันธ์เลอเบกได้แต่ ต้องใช้วิธีอื่น ใช่ไหมครับ หรือว่า ถ้าไม่สอดคล้องก้ไม่สามารถหาปริพันธ์เลอเบอได้ ??

สรุป การหาปริพันธ์เลอเบก (เท่าที่ผมเข้าใจเอาเอง)
1.ถ้า f เป็นฟังก์ชันอย่างง่าย ก็ใช้นิยามตามปกติ จะง่ายที่สุด
2.ถ้า f สอดคล้องกับ criterion ด้านบนก็หาด้วยปริพันธ์รีมันน์ได้
3.ใช้ทฤษฏีบทการลู่เข้าทางเดียว หรือ การลู่เข้าแบบถูกครอบงำ
แต่ในที่นี้ทุกฟังก์ชันสามารถหาได้โดยใช้นิยามได้ ??

ปล. 1. คำถามเยอะซักนิดนะครับ อ่านไปแล้ว งงมากๆ สับสนกับของเก่า
2. ขออภัยท่านอื่นๆ ด้วยนะครับแหะๆ กำลังศึกษาเรื่องนี้ แต่ไม่มีที่พึ่ง เลยต้องอาศัยผู้รู้ในบอร์ดนี้ อิอิ
3. ขอบพระคุณพี่ noonuii มากๆที่มาตอบให้

โอ้โห คุณ M@gpie นี่เรียน ป.ตรี หรือ ป.โท หรือ ป.เอก อยู่ครับเนี่ย ? :eek: แล้วเทอมนี้เรียนวิชา Real Analysis ด้วยเหรอครับ ผมกะว่าจะศึกษาด้วยตนเองดู แต่ยังไม่ว่าง :sweat: เอาไว้ให้ผมศึกษาก่อน แล้วจะมาตั้งวงคุยด้วย แต่ตอนนี้ยังไม่มีความรู้เลยครับ เอ่อ ตอนนี้ผมมีหนังสือ Principles of Real Analysis ของ Aliprantis และ Burkinshaw ไม่ทราบว่าเพื่อน ๆ พี่ ๆ เคยอ่านเล่มนี้หรือไม่ ? เข้าใจยากไม๊ ? หรือใครมีหนังสือ Real Analysis แนะนำบ้างครับ

ผมยังอยู่ป.ตรีคร้าบ project เป็นเรื่องเกี่ยวกับ functional analysis
ก็เลยต้องอ่านเป็นความรู้พื้นฐานไว้บ้างน่ะครับแหะๆ
ก็ไม่ได้รู้ละเอียดน่ะครับ เพราะไม่ได้สอบ 555 :rolleyes:

หนังสือที่ผมอ่านก็ ตามนี้ครับ
Robert G. Bartle and Donald R. Sherbert , Introduction to Real analysis , John wiley
ละเอียดดีครับ มีตั้งแต่ระดับพื้นฐานการวิเคราะห์เลย เหมาะสำหรับผู้ศึกษาด้วยตัวเองอย่างผม อิอิ
เหมือนเรียนแคลคูลัสเวอร์ชันพิสูจน์ :great:

วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ , คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง , สำนักพิมพ์จุฬาฯ
หนังสือออกแนว สรุปและคัดเนื้อหาเฉพาะส่วนที่สำคัญๆ และ แนะนำให้เห็นภาพ ครับ :yum:
มีเนื้อหาเกี่ยวกับ
-การวิเคราะห์เชิงจริง
-ทฤษฏีเมเชอร์และการหาปริพันธ์
-ปริภูมินอร์ม
-ปริภูมิผลคูณภายใน
-ทฤษฏีบทที่สำคัญในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันและการประยุกต์ทางวิศวกรรมไฟฟ้า

Kreyszig , Introduction to Functional Analysis ( อันนี้ยังไม่แตะเลยครับ แหะๆ :laugh: )

มีหลายคนแนะนำผมว่า ถ้าต้องการศึกษา functional analysis แต่ไม่มีพื้น Real Analysis ควรใช้หนังสือ Introductory Functional Analysis with Applications ของ Kreyszig ครับ เอ่อ คุณ nooonuii คิดว่าอย่างไรครับ

ส่วนตัวผมว่า ไม่มีพื้น Real Analysis เลย อาจจะยากนะครับ เพราะก็ต้องอิงการพิสูจน์ เรื่องการลู่เข้า และความต่อเนื่อง แต่ ถ้าไม่มีพื้นเรื่องเมเชอร์ ก็ ได้เลยครับ เพราะ Kreyszig ไม่ได้กล่าวถึง เมเชอร์เลย

ปล. พี่ noonuii อย่าลืมตอบคำถามผมข้างบนด้วยนะคร้าบบบ ยังรอคำตอบอยู่ อิอิ

โทษทีครับไม่ได้เข้ามาหลายวัน จะทยอยตอบให้ละกันนะครับ

ข้อ 1 ฟังก์ชันแรก Riemann integrable ครับ แต่ฟังก์ชันที่สองรู้สึกว่าจะต่อเนื่องที่จุด $\pi/4$ ที่เดียวครับ จึงไม่ Riemann integrable

ข้อ 2 โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันส่วนใหญ่จะ Riemann integrable ครับ Lebesgue integral มีเพื่อความบริบูรณ์ของปริภูมิเข้าใจถูกแล้วครับ

ข้อ 3 หายากเหลือเกินครับ เพราะส่วนใหญ่จะนิยามบนเซตซึ่งพิศดารหน่อย อย่างพวก Cantor set อะไรพวกนั้นซึ่งพี่คิดว่าน้อง Magpie คงไม่อยากเจอมันเท่าไหร่ :p การใช้พวก Convergence theorem ทั้งหลายก็เป็นอีกทางเลือกหนึ่งในการคำนวณ Lebesgue integral ครับ

ป.ล. ทฤษฎีพวกนี้พอแปลเป็นไทยแล้วตลกดีครับ
Monotone Convergence Theorem -- ทฤษฎีการลู่เข้าทางเดียว
Dominated Convergence Theorem -- ทฤษฎีการลู่เข้าแบบถูกครอบงำ
โดยเฉพาะอันหลังใครเป็นคนคิดเนี่ย :laugh:
หลายเดือนก่อนก็ได้ยินมาว่า
Chaos Theory -- อลวนศาสตร์ :laugh:

ถ้าเป็นที่มหาลัยผมเขาจะใช้ Real Analysis ของ H.L. Royden ครับ เล่มนี้จะเริ่มต้นด้วย Lebesgue integration ก่อนแล้วค่อยจบด้วย Abstract measure theory จะอ่านง่ายกว่าเล่มอื่น(รึเปล่า :confused: ) ส่วนเล่มของ Aliprantis ก็ดีครับ โจทย์เยอะดี แต่จะ approach ไปคนละทางกับของ Royden ครับ อีกเล่มที่ผมเอาไว้ใช้เป็น reference คือ Real Analysis : Modern Techniques and Their Applications ของ Gerald B. Folland

ข้อ 1 Riemann integrable ครับ
ข้อ 2 ไม่จำเป็นครับ เพราะฟังก์ชันอย่างง่ายสามารถนิยามบน measurable set ใดๆได้ ตัวอย่างก็คือข้อ 3 นั่นเอง แต่ถ้าเป็น step function ก็โอเคครับ
ข้อ 3 ไม่ Riemann integrable ครับ เพราะเซตของจุดซึ่งฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องมี measure มากกว่าศูนย์

ส่วนที่ทำให้ดูตอนหลังก็โอเคแล้วครับ