[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2549] ข้อสอบรอบคัดเลือก
 

ปี 2549









อีกอันนึงไม่รู้ของปีไรไม่แน่ใจ




รบกวนช่วยเฉลยให้หน่อยนะครับ :)

ข้อ 5 ปี 2549

$sin\theta <0$

$tan\theta sin\theta >0$ แสดงว่า $tan\theta <0 $

แต่ $tan\theta =\frac{sin\theta }{cos\theta }$

จึงได้ว่า $cos\theta <0$

เนื่องจาก $cos\theta =-\sqrt{1-sin^2\theta } $

ดังนั้น $cos\theta +tan\theta =cos\theta +\frac{sin\theta }{cos\theta } =-\sqrt{1-sin^2\theta }+\frac{sin\theta }{-\sqrt{1-sin^2\theta}} =-\sqrt{1-a^2 }+\frac{a}{-\sqrt{1-a^2}} =\frac{a^2-a-1 }{\sqrt{1-a^2}} $

ข้อล่างสุด

$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} =\frac{1}{3} $

สังเกตว่าต้องมีพจน์หนึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ $\frac{1}{6} $

สมมติ $\frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{m}<\frac{1}{3} $

ถ้า $m=4$ จะได้ $n=12$

ถ้า $m=5$ จะได้ว่าไม่มีจำนวนนับ $n$ ที่สอดคล้อง

ถ้า $m=6$ จะได้ $n=6$

กรณี $\frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{n}<\frac{1}{3} $ ก็เช่นเดียวกัน

ดังนั้นมี $(m,n)=(4,12),(12,4),(6,6)$

$ 1+11+111+1111+...+1111...1111 $
$ = \frac{9}{9}+\frac{99}{9}+\frac{999}{9}+...+\frac{99999...99}{9} $
$ = \frac{1}{9} ( 10-1+10^2-1+10^3-1+...+10^n-1 ) $
$ = \frac{1}{9} (10+10^2+10^3+...+10^n -n )$
$ = \frac{1}{9} (\frac{10(10^n-1)}{10-1}-n )$
$ =\frac{10^{n+1}-9n-10}{81} $

ขอข้อ 1,4,5,6 ของชุดที่สองด้วยครับ

หมายถึงแผ่นนี้อะครับ แต่ยังไงก็ขอบคุณมาก ^^

4. ลองใช้เอกลักษณ์นี้ดูครับ
$(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca) $

2. $P=n!,S=n(n+1)/2 $
$ P/S =2(n!)/n(n+1) =2(n-1)!/(n+1)$
n เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ เห็นได้ชัดว่าถ้า n เป็นจำนวนเฉพา
Sหาร P ไม่ลงตัว

ลองดูอีกทีครับ :)

ข้อ 7 โจทย์น่าจะผิดครับ ถ้าจะแก้ให้ได้ตามสิ่งที่โจทย์ถามก็แก้ด้าน $n$ เป็น $n^2$ และ ต้องเปลี่ยนเงื่อนไขเป็น $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 2 แล้วค่อยพิจารณาว่ามี $n$ อะไรบ้างที่ทำให้เกิดสามเหลี่ยมประเภทไหน

ชุดที่1ข้อ16
$\frac{1}{m}+\frac{1}{n} =\frac{1}{3}$
$3m+3n=mn$
$3m+3n-mn=0$
$(m-3)(3-n)=-9$
$(m-3)(3-n)=(1)(-9)=(-1)(9)=(3)(-3)$
$m-3=1,n-3=9\rightarrow m=4,n=12$
$m-3=9,n-3=1\rightarrow m=12,n=4$
$m-3=3,n-3=3\rightarrow m=6,n=6$
ได้ 3 คู่
$(4,12),(12,4),(6,6)$

ข้อ13
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=b$
$x^3=b+1$
$x^2+x+1=\frac{b}{a} $
$x^2+x=\frac{b}{a}-1$
$(x^2+x)^2=(\frac{b}{a}-1)^2$
$x^4+x^2+1=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}+1-2(b+1) +1$
$=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}-2b$
$=\frac{b^2-2ab-2a^2b}{a^2} $

ข้อ5
$x^2-y^2=45$
$x^3+x^2y-xy^2-y^3=225$
$(x-y)(x^2+xy+y^2)+xy(x-y)=225$
$(x-y)(x+y)^2=225$
$(x^2-y^2)(x+y)=225$
$x+y=5$
ดังนั้น $x-y=9$
$x=7,y=-2$

ข้อ4
$xy+yz+xz=\frac{1}{2}\left\{\,(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2\right\} =0$
$(xy)^2+(yz)^2+(xz)^2=(xy+yz+xz)^2-2xyx(x+y+z)$
$=-2(-3)(2)$
$=12$

ผมขออนุญาตใช้พื้นที่ทำ ช่วงนี้ว่างๆ ทำข้อที่ทำได้แล้วกันครับ

$\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)}=\frac{1}{3} $
$3(ac-ad-bc+bd)=(bd-ab-cd+ac)$
$(ab+cd)-(ad+bc)=2(ad+bc-ac-bd)$
$(a-c)(b-d)=2(d-c)(a-b)$
$\frac{(a-c)(b-d)}{(c-d)(a-b)} =-2$