1. จงพิสูจน์ว่า $[a,b,c]=\displaystyle{\frac{abc(a,b,c)}{(a,b)(b,c)(c,a)}}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $a,b,c$

2. ให้ $a,b,d$ เป็นจำนวนเต็มบวก
จงใช้หลักการจัดอันดับดีแล้ว (well-ordering principle) พิสูจน์ว่า
$d=(a,b)$ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม $x,y$ ที่ทำให้ $d=ax+by>0$ โดยที่ $d\left.\,\right| a$ และ $d\left.\,\right| b$

3. ให้ $a,m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา $(a^{{2^m} -1} -1,a^{{2^n}-1} -1)$

4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มคู่บวก และ $k_1,k_2,...,k_{2n}$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน $2n$ ตัว
ซึ่ง $2n\left.\,\right| (k_1+k_2+...+k_{2n})$ จงแสดงว่า จะมีจำนวนเต็ม $x$ ที่ทำให้
\[(x-k_1)(x-k_2)...(x-k_{2n})-(n!)^2=0\]

5. จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ไม่มีจำนวนเต็มบวก $k$ ที่ทำให้ $(n+1)!=k^3$

จงแสดงวิธีทำอย่างละเอียด

1. จงทำให้เป็นรูปอย่างง่าย $\displaystyle{\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+...+\frac{n}{(n+1)(n+2)(n+3)}}$

2. จงหาจำนวนนับ $m,n,p$ ที่ทำให้ $m+n+p=2008$ ซึ่งสอดคล้องกับ
\[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=m, \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=n, \frac{z}{x} +\frac{x}{z}=p\]
เมื่อ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์

3. จงหาคู่อันดับของจำนวนจริง $(a,b)$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+ax+b=0$ เมื่อ
ถ้ากำหนดให้ $\alpha$ เป็นรากของสมการดังกล่าวแล้ว $\alpha ^2 -2$ เป็นรากของสมการด้วย

4. กำหนดให้ $z_k = \cos\displaystyle{\frac{2k\pi }{7}} + i\sin\displaystyle{\frac{2k\pi }{7}}$ เมื่อ $k=1,2,3,4,5,6$
จงหาค่าของ $\sum_{k = 1}^{ุ6} \displaystyle{\frac{1}{(z_k +1)^2}}$

คำสั่ง จงแสดงวิธีทำทุกข้อโดยละเอียด โดยใช้อสมการหรือทฤษฎีบทในเอกสารประกอบการสอนวิชาอสมการ

1. ให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $p>2>q$ และ $\displaystyle{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1}$
จงแสดงว่า $\displaystyle{\Big(\frac{p}{p-q}\Big)^{p-q} \leqslant \Big(\frac{q+1}{q}\Big)^{p+q}}$

2. ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $ab+bc+ca=abc$
จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{1}{a^2\displaystyle{\Big(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)}}}+\displaystyle{\frac{1}{b^2\displaystyle{\Big(\frac {1}{c}+\frac{1}{a}\Big)}}}+\displaystyle{\frac{1}{c^2\displaystyle{\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Big)}}}\geqslant \frac{1}{2}$

3. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ และ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a_1a_2...a_n=1$
จงแสดงว่า $n^{a_1}+n^{a_2}+...+n^{a_n}\geqslant n^2$

4. ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวก
จงแสดงว่า $\displaystyle{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{ab+bc+ca}}\leqslant 2\displaystyle{\Big(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\Big)}$

5. ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $\displaystyle{0<a,b,c<\displaystyle{\frac{1}{2}}}$ และ $\displaystyle{(1-2a)(1-2b)(1-2c)\geqslant \displaystyle{\frac{1}{8}}}$
จงเสดงว่่า $\displaystyle{\sqrt[3]{abc}\leqslant \displaystyle{\frac{1}{4}}}$

1. ให้ $C_1$ และ $C_2$ เป็นวงกลมที่มีรัศมีเป็น $a$ และ $b$ หน่วย ตามลำดับ โดย $a<b$ จงเขียนขั้นตอนวิธีการสร้าง
เส้นตรงที่สัมผัสวงกลมทั้งสองนี้ โดย $C_1$ และ $C_2$ อยู่คนละด้านของเส้นสัมผัสนี้ พร้อมทั้งแสดงเหตุผลประกอบ

2. ให้ $C_1$ เป็นวงกลมที่มี $K$ เป็นจุดศูนย์กลาง ซึ่งสัมผัสด้าน $AB$ และด้าน $AC$ ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$
จงพิสูจน์ว่า จุด $I,K$ และ $I_a$ เรียงตัวอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เมื่อ $I$ คือ จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$
และ $I_a$ คือจุดศูนย์กลางวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่อยู่ตรงข้าม $\angle BAC$

3. ให้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มี $\angle BAC =60^\circ$ และให้ $C_1$ เป็นวงกลมที่ไม่ใช่วงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$
แต่มีรัศมีเท่ากับวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ และมีด้าน $BC$ เป็นคอร์ด จงพิสูจน์ว่า จุด $I,S$ และ $H$ อยู่บนวงกลม $C_1$
เมื่อ $I$ คือ จุดศูนย์กลางวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$$,S$ คือ จุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$
และ $H$ คือจุด orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่อยู่ตรงข้าม $\angle BAC$ (กำหนดให้ $\displaystyle{\sin30^\circ = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ}$)

4. ให้ $I_a,I_B$ และ $I_c$ เป็นศูนย์กลางวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่อยู่ตรงข้าม $\angle BAC , \angle ABC$ และ $\angle ACB$ ตามลำดับ
$r_a , r_b$ และ $r_c$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่อยู่ตรงข้าม $\angle BAC , \angle ABC$ และ $\angle ACB$ ตามลำดับ
และ $\rho_a , \rho_b$ และ $\rho_c$ เป็นรัศมีวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $I_aBC,$ รูปสามเหลี่ยม $I_bAC$ และ รูปสามเหลี่ยม $I_cAB$ ตามลำดับ

4.1 จงพิสูจน์ว่ารูปสามเหลี่ยม $I_aBC,$ รูปสามเหลี่ยม $I_bAC$ และ รูปสามเหลี่ยม $I_cAB$ คล้ายกันทั้งหมด

4.2 จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{\rho_a}{r_a}+\frac{\rho_b}{r_b}+\frac{\rho_c}{r_c}=1}$

1. กำหนดให้รูปข้างล่างนี้เป็นตาข่ายลวด โดยเราเรียกจุดที่เส้นลวดแนวตั้งกับแนวนอนทับกันว่าพิกัดจุด
เราระบุตำแหน่งของแต่ละพิกัดจุดบนตาข่ายลวดด้วยคู่อันดับ $(x,y)$ โดยที่ $x$ เป็นตำแหน่งในแนวนอนและ $y$ เป็นตำแน่งในแนวตั้ง ดังรูปที่ 1
ตั๊กแตนตัวหนึ่งเกาะอยู่ที่พิกัด $(0,0)$ ของตาข่ายลวด และจะกระโดดวินาทีละหนึ่งครั้งหลังจากนี้ โดยการกระโดด
ของตั๊กแตนตัวนี้จะกระโดดไปมาบนพิกัดจุดของตาข่ายครั้งละหนึ่งหน่วย และจะกระโดดไปทางทิศเหนือ หรือ ทิศตะวันออกเท่านั้น
จงระบุพิกัดจุด ที่มีโอกาสพบตั๊กแตนตัวนี้มากที่สุดหลังจากเวลาผ่านไป $6$ วินาที พร้อมทั้งระบุความน่าจะเป็นที่มากที่สุดดังกล่าวด้วย

2. จงแสดงว่า $\sum_{r = 1}^{n} (n+r-1)\displaystyle{\binom{r+1}{2}}=\displaystyle{\binom{n+3}{4}}$

3. จุด $20$ จุด ถูกจัดเรียงเป็นแถว $4$ แถว และ หลัก $5$ หลักดังรูปที่ 2 จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ไม่เท่ากับศูนย์ โดยที่มุมแต่ละมุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่บนจุดที่กำหนดมาให้

4. จำนวนตั้งแต่ $1$ ถึง $250$ มีกี่จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลรวมของจำนวนไม่เกินสามจำนวน
ในเซต ${3^0,3^1,3^2,3^3,3^4,3^5}$ โดยแต่ละรูปแบบของการเขียนไม่สามารถใช้สมาชิกในเซตนี้ได้ไม่เกินหนึ่งครั้ง
เช่น $12$ ถือเป็นจำนวนที่สอดคล้องเงื่อนไข เพราะ $12=3^2+3^1$ แต่ $5$ จะไม่ใช่จำนวนที่สอดคล้องเนื่องจาก $5=3^0+3^0+3^1$ ซึ่งมีการใช้ $3^0$ เพียงหนึ่งครั้ง

5. ณเดชน์ต้องการซื้อไอสกรีมที่ร้านไอศกรีมแห่งหนึ่งทีเดียวพร้อมกัน $n$ ถ้วย เพื่อนำไปฝากญาติ
หากกำหนดให้ว่า ร้านนี้มีไอศกรีมเพียง $2$ รสให้เลือกคือ ช็อกโกแลต และวนิลา ซึ่งไอศกรีมแต่ละถ้วย
สามารถเลือกใส่ Topping ได้ $1$ ชนิดฟรี จาก Topping $k$ ชนิดที่ทางร้านมี หรือจะเลือกไม่ใส่ Topping เลยก็ได้
และในการสั่งไอศกรีมร้านนี้ จะต้องเริ่มสั่งรสไอศกรีมก่อนแล้วตามด้วย Topping
ถ้าหากว่าไอศกรีมแต่ละถ้วยที่ณเดชน์จะซื้อนี้ ประกอบด้วยไอศกรีมเพียง $1$ รสชาติ และ Topping ไม่เกิน $1$ ชนิด
จงหาจำนวนวิธีในการเลือกสั่งไอศกรีม $n$ ถ้วยนี้พร้อมกัน เมื่อ $n$ และ $k$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่มีค่ามากกว่า $4$

Modified Cauchy-Schwarz Inequality
$\frac{\displaystyle{\Big(\sum x_i\Big)^2}}{\displaystyle{\sum y_i}}\leqslant \displaystyle{\sum \frac{x_i^2}{y_i}} ,i\in\left\{1,2,...,n\right\}$

เลือก $x_1=\displaystyle{\frac{1}{a}} , x_2=\displaystyle{\frac{1}{b}} , x_3=\displaystyle{\frac{1}{c}}$
เลือก $y_1=\displaystyle{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} , y_2=\displaystyle{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}} , y_3=\displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
และ $\because ab+bc+ca=abc \therefore \displaystyle{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =1}$
โดย Modified Cauchy-Schwarz Inequality
จัดรูป ... โกโก้ครั้นช์!!! จบ:sung:

1. พิทากอรัส

2. จุดทั้งหลายอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งมุม $\angle BAC$

3. ไล่มุม จะได้ว่า $\angle BIC=\angle BSC=\angle BHC=120^{\circ}$ และใช้ Lemma Orthocenter

4.1 พิจารณารูปใหญ่ จะได้ว่า $AI_a,BI_b,CI_c$ เป็นเส้นส่วนสูง ไล่มุมนิดเดียว
4.2 ลองแสดงว่า $\frac{r}{h_a}+\frac{r}{h_b}+\frac{r}{h_c}=1$
โดยที่ $h_a,h_b,h_c$ เป็นความยาวของส่วนสูงทั้งสาม

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania (ข้อความที่ 183207) ชอบเรขาครับ ขอทำเรขาก่อนแล้วกัน :)

Euclidean Algorithm

Weighted AM-GM

$\left(\dfrac{p}{p-q}\right)^{\frac{p-q}{p+q}}\cdot (1)^{\frac{2q}{p+q}} \leq 1+\dfrac{q}{p+q}\leq 1+\dfrac{1}{q}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ superman1786 (ข้อความที่ 185485) 30(1+2*4)(1+2*8)(1+2*16)(1+2*32)(1+2*64)เฉลยละเอียดให้หน่อยครับ