prove Huygens Inequality
$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geqslant 7^4$$
|
เงื่อนไขของ $x,y,z$ คืออะไรครับ
|
x,y,z > 0 ครับ
|
$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})\geqslant \left(1+\sqrt[4]{3x\cdot \frac{8y}{x} \cdot \frac{9z}{y} \cdot \frac{6}{z}}\right)^{4}=7^{4} $$
:) |
อ้างอิง:
|
ใช้ AM-GM ตรงๆก็ได้นะครับ
คือเรากระจายสองก้อนแรกก่อนแล้วใช้AM-GM แล้วเราก็กระจายสองก้อนหลังแล้วใช้ AM-GM แล้วเอาสองอันที่ได้มากระจาย แล้วก็ AM-GM ฟังดูเหมือนเยอะนะครับ แต่จริงๆมันไม่ยาก แล้วก็ ปุ้ง! จบเลย |
อ้างอิง:
$$(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y$$ $$\geqslant 4\sqrt[4]{(3x)(\frac{8y}{x})(24y) }$$ กระจายอันที่สอง $$(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y}$$ $$\geqslant 4\sqrt[4]{(\frac{9z}{y})(\frac{6}{z})(\frac{54}{y})}$$ ทำยังไงต่อครับ;) |
= =" เอ่อ... มันไม่ใช่ยังงั้นครับ ยังงั้นเงื่อนไขสมการจะหายไป คุณควรทำยังงี้
$$A=(1+3x)(1+\frac{8y}{x})=1+3x+\frac{8y}{x}+24y $$ $$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{x}{2})^{6/49} \cdot (\frac{4y}{3x})^{6/49} \cdot (\frac{2y}{3})^{36/49}$$ $$=49 \cdot (\frac{2y}{3})^{6/7}$$ และ $$B=(1+\frac{9z}{y})(1+\frac{6}{z})=1+\frac{9z}{y}+\frac{6}{z}+\frac{54}{y} $$ $$\geq 49 \cdot 1^{1/49} \cdot (\frac{3z}{2y})^{6/49} \cdot (\frac{1}{z})^{6/49} \cdot (\frac{3}{2y})^{36/49}$$ $$=49 \cdot (\frac{3}{2y})^{6/7}$$ ดังนั้น $$AB \geq 7^{4}$$ อสมการสุดท้าย ก็โดย AM-GM อีกละครับ (ตรงตามที่บอกเลยใช่มิ ไม่เชื่อลองไปอ่านข้างบนดูสิครับ) :laugh: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
เก่งมาก นี่ผมมาตรวจให่เองเลยนะนเนี่ย |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:30 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha