เก็บตกจากคณิตระดับโลก
 

1. จำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 81, 133 และ 159 แล้วเหลือเศษเท่ากัน คือจำนวนใด

2. ข้อใดคือค่าของ m×n ถ้า 6n−8 = 2(2n−1) และ 3(m−10) = 2(45−m)

3. ของผสมชนิดหนึ่งมีส่วนผสมของแอลกอฮอล์ 15% ต้องใช้ของผสมนี้กี่แกลลอนผสมกับแอลกอฮอล์เพื่อให้ได้ของผสมใหม่ 8.5 แกลลอน และเป็นของผสมที่มีแอลกอฮอล์ 60%

4. ถ้า a : b : c = 2 : 3 : 5 และ 3a – 2b + c = 10 แล้ว a + b + c มีค่าเท่าใด

5. เมื่อหาร p ด้วย 5, 8 และ 13 จะเหลือเศษ 3, 5 และ 11 ตามลำดับ ถ้า pน้อยกว่า 1000 จงหา p ที่มากที่สุด

6. จำนวนห้าหลักจำนวนหนึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ถ้าจำนวนดังกล่าวคือ 4abc9 โดย a เป็นเลขโดดในหลักพัน bเป็นเลขโดดในหลักร้อย และ c เป็นเลขโดดในหลักสิบและ a>b>c จงหาa+b+c

7. จำนวนสองจำนวนต่างกัน 3 และผลบวกของกำลังสองของแต่ละจำนวนคือ 117 จงหาจำนวนทั้งสอง

8. จำนวนหกหลัก เกิดจากการนำจำนวนสองหลัก ab เรียงต่อกันสามครั้งเป็น ababab เช่น 525252 ถ้า หารจำนวนทุกจำนวนที่เขียนในลักษณะนี้ลงตัว แล้ว ที่มากที่สุดคือจำนวนใด

9. จงหาว่าผลคูณของจำนวนตั้งแต่ 1 ถึง 100 มีศูนย์อยู่ข่วงท้ายติดกันทั้งสิ้นกี่ตัว

10. จำนวน 543หรือ เป็นจำนวนที่เลขโดดที่นำมาใช้เรียงลำดับจากมากไปน้อย แต่จำนวน 322 ไม่ใช่จำนวนที่เลขโดดเรียงลำดับจากมากไปน้อย

11. จงหาเลขโดดสองหลักสุดท้ายของจำนวน 6ยกกำลัง2002

ข้อ 1) ให้ x เป็นจำนวนนับที่มากที่สุดที่หาร 81,133,159 แล้วเหลือเศษเท่ากัน
จากโจทย์จะได้สมการ
$81=ax+r----(1)$
$133=bx+r----(2)$
$159=cx+r----(3)$
$(2)-(1):\ \ 52=(b-a)x$
$(3)-(2):\ \ 26=(c-b)x$
$(3)-(1):\ \ 78=(c-a)x$
ดังนั้น x คือ ห.ร.ม. ของ 52,26 และ 78
$\therefore x=26$

ข้อ 2)
$6n-8=2(2n-1)$
$6n-8=4n-2$
$2n=6$
$n=3$-------(1)
$3(m-10)=2(45-m)$
$3m-30=90-2m$
$5m=120$
$m=24$------(2)
$m\times n=24\times3=72$

ข้อ 3)
สมมุติให้ใช้ของผสมแอลกอฮอล์ 15% ไป x แกลลอน และแอลกอฮอล์ 100% ไป y แกลลอน
จะได้สมการ
$\frac{15}{100}x+y=(\frac{60}{100})\times(8.5)$------(1)
$x+y=8.5$------(2)
จาก (2): $y=8.5-x$ แทนในสมการ (1)
$\frac{3}{20}x+(8.5-x)=5.1$
$\frac{17}{20}x=3.4$
$x=4$
ดังนั้นต้องใช้ของผสมแอลกอฮอล์ 15% 4 แกลลอน

ข้อ 4)
$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}------>3a=2b------>b=\frac{3}{2}a$
$\frac{a}{c}=\frac{2}{5}------>5a=2c------>c=\frac{5}{2}a$
$3a-2b+c=10$
$3a-2(\frac{3}{2}a)+(\frac{5}{2}a)=10$
$a=4------>b=6----->c=10$
$a+b+c=20$

ข้อ 4 คับ
$a : b : c = 2 : 3 : 5 $ คูณด้วยค่าคงตัว $k$
$a=2k, b=3k, c=5k $
จะได้ว่า $3a-2b+c=6k-6k+5k=5k=10\therefore k=2$
$a+b+c=10k=20$

ใช้เลอจองค์ $\left\lfloor\,\dfrac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor\,\dfrac{100}{25} \right\rfloor = 24$

มี 24 ตัวครับ

ข้อ 5)
จากโจทย์จะได้สมการ
$P=5x+3$
$P=8y+5$
$P=13z+11$ ซึ่ง $P<1000$
ดังนั้น
$5x+3<1000 \ \ ,x\leqslant 199$
$8y+5<1000 \ \ ,y\leqslant 124$
$13z+11<1000 \ \ ,z\leqslant 76$
เพื่อให้ P หาร 5 แล้วเหลือเศษ 3ดังนั้น P จะต้องลงท้ายด้วย 3 หรือ 8
จึงได้ว่า 13z ต้องลงท้ายด้วย2 หรือ 7
ดังนั้น z ต้องลงท้ายด้วย 4 หรือ 9
1) เมื่อ z=74
$P=13(74)+11=973$ จะเห็นว่าสอดคล้องกับสมการข้างต้นเมื่อ $x=194 ,y=121$ และเป็นค่ามากที่สุด
ดังนั้น $P=973$

ข้อ 6)
ลองแทนค่าดูเจอตัวนึงครับคือ ${(223)}^2=49729$
ดังนั้น $a=9,b=7,c2$
$a+b+c=18$
ไม่รู้มีตัวอื่นอีกมั้ยครับ

ข้อ 7) จะได้สมการ
$x-y=3$-----(1)
$x^2+y^2=117$------(2)
จาก (1): $y=x-3$ แทนใน (2)
$x^2+{(x-3)}^2=117$
$2x^2-6x-108=0$
$x^2-3x-54=0$
$(x+6)(x-9)=0$
$x=-6,9$
$y=-9,6$
ดังนั้นจำนวนทั้ง 2 นี้มี 2 คู่คือ $(-6,-9) และ (6,9)

ขอบคุณ จอมยุทธหน้าหยก
 

เป็นวิทยาทานอย่างสูงค่า เพื่อมวลมนุษยชาติที่แสวงหาสัจธรรมแห่งคณิตศาสตร์ ขอบคุณด้วยจิตคารวะ

เลข 6 หลักที่มากที่สุดคือ 999999 และที่น้อยที่สุดคือ101010

$ababab = ab(10101) = ab(3\times7\times13\times37)$


$ab \ $ ที่เป็นไปได้คือ 10, 11, 12, ..., 99

ห.ร.ม. ของ 10, 11, 12, ..., 99 คือ 1

จำนวนที่มากที่สุด ที่หาร $ab(10101) \ $ ลงตัวคือ $ \ 1 \times 10101 = 10101$


ดังนั้น จำนวนที่มากที่สุดที่เข้ากับเงื่อนไขดังกล่าว คือ $10101 \ \ \ Ans.$

ระดับประถม ก็ทำแบบประถม

$6^{1} = 6$

$6^{2} = 36$

$6^{3} = 216$

$6^{4} = 1296$

$6^{5} = 7776$



$6^{6} = 46656 \ \ \ $ <--- เริ่มวน

$6^{7} = 279936$

$6^{8} = 1679616$
.
.

ทุกๆ 5 จำนวน เลขท้ายสองตัวเริ่มวนใหม่

เลขชี้กำลังหารด้วย 5 เหลือเศษ 1 เลขท้ายสองตัวคือ 56

เลขชี้กำลังหารด้วย 5 เหลือเศษ 2 เลขท้ายสองตัวคือ 36

เลขชี้กำลังหารด้วย 5 เหลือเศษ 3 เลขท้ายสองตัวคือ 16

เลขชี้กำลังหารด้วย 5 เหลือเศษ 4 เลขท้ายสองตัวคือ 96

เลขชี้กำลังหารด้วย 5 เหลือเศษ 0 เลขท้ายสองตัวคือ 76



2002 หารด้วย 5 เหลือเศษ 2 จึงลงท้ายด้วย 36


ตอบ เลขโดดสองหลักสุดท้ายของจำนวน $6^{2002} \ $ คือ $ \ 36$

แล้วยังไงต่อครับ โจทย์ไม่ครบ

ขอใช้เทคนิคเดิมๆอีกแล้วในการไข
$\frac{a}{2} =\frac{b}{3} =\frac{c}{5}= k $
$\frac{3a}{6} =\frac{-2b}{-6} =\frac{c}{5}= k $
$\frac{3a-2b+c}{5}=2=k $
$\frac{a}{2} =\frac{b}{3} =\frac{c}{5}=2 $
$\frac{a+b+c}{10} =2 \rightarrow a+b+c = 20 $
เท่ากับคำตอบของคุณpoperเลย